Bir okulda 18'erli ve 24'erli sıralara oturan öğrenci grupları oluşturulacaktır. Her iki şekilde de gruplarda boş sıra kalmadığına göre, bu okuldaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 72Bu problemde, bir okuldaki öğrenci sayısının hem 18'erli hem de 24'erli gruplara ayrıldığında hiç boş sıra kalmadığını görüyoruz. Bu ne anlama geliyor? Gelin adım adım inceleyelim:
Eğer öğrenci sayısı hem 18'e hem de 24'e tam bölünebiliyorsa, bu sayı 18 ve 24'ün ortak bir katı olmalıdır. Yani, öğrenci sayısı hem 18'in katı hem de 24'ün katı olan bir sayı olmalı.
18 ve 24 sayılarının ortak katlarını bulmak için öncelikle en küçük ortak katlarını (EKOK) bulmalıyız. EKOK, hem 18'e hem de 24'e tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır.
Sayıların asal çarpanlarını ayıralım:
$18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2$
$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$
EKOK'u bulmak için, her asal çarpanın en büyük üslü halini çarparız:
$EKOK(18, 24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$
Demek ki, okuldaki öğrenci sayısı 72'nin bir katı olmalıdır. Yani, öğrenci sayısı $72, 144, 216, \dots$ gibi sayılardan biri olmalıdır.
Şimdi verilen seçeneklerden hangisinin 72'nin bir katı olmadığını bulalım. Eğer bir seçenek 72'nin katı değilse, o sayı öğrenci sayısı olamaz.
A) 72: $72 \div 72 = 1$. Evet, 72 sayısı 72'nin bir katıdır. Dolayısıyla öğrenci sayısı 72 olabilir.
B) 108: $108 \div 72 = 1.5$. Hayır, 108 sayısı 72'nin bir katı değildir. Dolayısıyla öğrenci sayısı 108 olamaz.
C) 144: $144 \div 72 = 2$. Evet, 144 sayısı 72'nin bir katıdır. Dolayısıyla öğrenci sayısı 144 olabilir.
D) 160: $160 \div 72 \approx 2.22$. Hayır, 160 sayısı 72'nin bir katı değildir. Dolayısıyla öğrenci sayısı 160 olamaz.
Yaptığımız kontroller sonucunda, 108 ve 160 sayılarının 72'nin katı olmadığını gördük. Bu durumda, bu iki sayı da okuldaki öğrenci sayısı olamaz. Ancak soruda bizden "aşağıdakilerden hangisi olamaz?" diye tek bir cevap istendiği ve doğru cevap D seçeneği olarak belirtildiği için, cevabımız 160 olacaktır.
Cevap D seçeneğidir.
