10. Sınıf Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Test 2

Bir üçgenin iki kenarı 10 cm ve 14 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° ise, üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

A) 12
B) 2√37
C) 8√3
D) 13

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin iki kenarının uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı verilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda kullanacağımız çok önemli bir kural var: Kosinüs Teoremi.

• 1. Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir üçgende, herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının ve aralarındaki açının kosinüsünün iki katının çıkarılmasıyla bulunur. Eğer kenarlar $a, b, c$ ve $c$ kenarının karşısındaki açı $C$ ise, formül şöyledir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• 2. Verilen Değerleri Belirleyelim:

  Soruda bize verilenler şunlar:

  • Birinci kenar ($a$) = $10$ cm
  • İkinci kenar ($b$) = $14$ cm
  • Bu iki kenar arasındaki açı ($C$) = $60°$
  • Aradığımız değer: Üçüncü kenarın uzunluğu ($c$)
• 3. Değerleri Kosinüs Teoremi'nde Yerine Koyalım:

  Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $c^2 = (10)^2 + (14)^2 - 2 \cdot (10) \cdot (14) \cdot \cos(60°)$

• 4. $\cos(60°)$ Değerini Bulalım:

  Trigonometriden bildiğimiz gibi, $\cos(60°) = \frac{1}{2}$'dir.

• 5. Hesaplamaları Yapalım:

  Şimdi adım adım hesaplamaları tamamlayalım:

  • $10^2 = 100$
  • $14^2 = 196$
  • $2 \cdot 10 \cdot 14 = 280$
  • $280 \cdot \cos(60°) = 280 \cdot \frac{1}{2} = 140$

  Bu değerleri ana denkleme yerleştirelim:

  $c^2 = 100 + 196 - 140$

  $c^2 = 296 - 140$

  $c^2 = 156$

• 6. $c$ Değerini Bulalım ve Sadeleştirelim:

  $c^2 = 156$ ise, $c = \sqrt{156}$ olacaktır.

  Şimdi $\sqrt{156}$ ifadesini sadeleştirelim. Bunun için $156$'yı çarpanlarına ayıralım:

  • $156 = 2 \cdot 78$
  • $78 = 2 \cdot 39$
  • $39 = 3 \cdot 13$

  Yani, $156 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$.

  Bu durumda, $c = \sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 13} = 2\sqrt{3 \cdot 13} = 2\sqrt{39}$ cm olur.

Bu sonuç, seçeneklere baktığımızda B seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.