Birbirinden farklı $A$ ve $B$ pozitif tam sayıları için $\text{EBOB}(A,B) = 6$ ve $\text{EKOK}(A,B) = 180$'dir. Buna göre $A+B$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) $66$
B) $72$
C) $78$
D) $90$
Bu soruyu çözmek için EBOB ve EKOK arasındaki ilişkiyi ve asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız. Unutmayalım, EBOB iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğü, EKOK ise ortak katlarının en küçüğüdür.
- Adım 1: EBOB ve EKOK ilişkisini hatırlayalım: İki sayı ($A$ ve $B$) için, $A \cdot B = \text{EBOB}(A,B) \cdot \text{EKOK}(A,B)$'dir. Bu bilgiyi kullanarak $A \cdot B$ değerini bulalım: $A \cdot B = 6 \cdot 180 = 1080$.
- Adım 2: Sayıları EBOB cinsinden ifade edelim: $\text{EBOB}(A,B) = 6$ olduğundan, $A = 6x$ ve $B = 6y$ şeklinde yazabiliriz. Burada $x$ ve $y$ aralarında asal pozitif tam sayılardır (çünkü ortak bölenleri 6'dır).
- Adım 3: Yeni denklemi oluşturalım: $A \cdot B = 1080$ bilgisini ve $A = 6x$, $B = 6y$ ifadelerini kullanarak yeni bir denklem elde edelim: $(6x) \cdot (6y) = 1080 \Rightarrow 36xy = 1080 \Rightarrow xy = 30$.
- Adım 4: $xy = 30$ eşitliğini sağlayan aralarında asal $x$ ve $y$ değerlerini bulalım: $30$'un çarpanlarını düşünelim: $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$. Bu çarpan çiftlerinden aralarında asal olanları seçmeliyiz. Aralarında asal olan çiftler şunlardır: $(1, 30)$ ve $(5, 6)$.
- Adım 5: $A$ ve $B$ değerlerini hesaplayalım:
- Eğer $(x, y) = (1, 30)$ ise, $A = 6 \cdot 1 = 6$ ve $B = 6 \cdot 30 = 180$. Bu durumda $A+B = 6 + 180 = 186$.
- Eğer $(x, y) = (5, 6)$ ise, $A = 6 \cdot 5 = 30$ ve $B = 6 \cdot 6 = 36$. Bu durumda $A+B = 30 + 36 = 66$.
- Adım 6: En küçük $A+B$ değerini bulalım: Bulduğumuz $A+B$ değerleri $186$ ve $66$ idi. Bunlardan en küçüğü $66$'dır.
Bu nedenle, $A+B$ toplamının alabileceği en küçük değer $66$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
