9. Sınıf Ortalama Mutlak Sapma Nedir? Test 2

Bir veri setinin ortalama mutlak sapması 0 çıkıyorsa bu durumla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Veri setindeki tüm sayılar pozitiftir
B) Veri setindeki tüm sayılar negatiftir
C) Veri setindeki tüm sayılar birbirine eşittir
D) Veri setinin ortalaması sıfırdır

Bu soruyu çözmek için öncelikle Ortalama Mutlak Sapma (OMS) kavramını iyi anlamamız gerekiyor.

• Ortalama Mutlak Sapma (OMS) Nedir?
  Ortalama Mutlak Sapma, bir veri setindeki her bir elemanın, veri setinin ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu gösteren bir yayılım ölçüsüdür. Yani, veri setindeki değerlerin ortalamaya göre ne kadar farklılık gösterdiğini, ne kadar dağınık olduğunu ölçer.
• OMS'nin matematiksel formülü şöyledir: $OMS = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$
  Burada $x_i$ veri setindeki her bir elemanı, $\bar{x}$ veri setinin aritmetik ortalamasını (mean), $n$ veri setindeki eleman sayısını ve $|...|$ mutlak değer işaretini (bir sayının sıfıra olan uzaklığını, yani pozitif değerini ifade eder) temsil eder.
• Şimdi sorudaki duruma odaklanalım: Ortalama Mutlak Sapma'nın $0$ olması.
  Eğer $OMS = 0$ ise, formüle göre: $\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n} = 0$
• Bu denklemin sağlanabilmesi için, pay kısmının $0$ olması gerekir (çünkü $n$, yani eleman sayısı $0$ olamaz).
  Yani, $\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = 0$ olmalıdır.
• Bir dizi mutlak değerin toplamının $0$ olabilmesi için, toplamdaki her bir mutlak değer ifadesinin ayrı ayrı $0$ olması gerekir. Çünkü mutlak değer asla negatif olamaz, en küçük değeri $0$'dır. Negatif olmayan sayıların toplamı $0$ ise, her biri $0$ olmalıdır.
  Bu durumda, her bir $i$ değeri için $|x_i - \bar{x}| = 0$ olmalıdır.
• Bir sayının mutlak değeri $0$ ise, o sayı da $0$ olmak zorundadır.
  Yani, her bir $i$ değeri için $x_i - \bar{x} = 0$ olmalıdır.
• Bu da bize her bir $x_i$ elemanının, veri setinin ortalaması $\bar{x}$'e eşit olması gerektiğini söyler:
  $x_i = \bar{x}$
• Eğer veri setindeki her bir eleman, veri setinin ortalamasına eşitse, bu durumda veri setindeki tüm sayıların birbirine eşit olması gerekir.
  Örneğin, veri setiniz $\{5, 5, 5\}$ ise, ortalaması $5$'tir. Her eleman ortalamaya eşittir. Bu durumda OMS $0$ olur.
  Veri setiniz $\{-2, -2, -2\}$ ise, ortalaması $-2$'dir. Her eleman ortalamaya eşittir. Bu durumda OMS $0$ olur.
  Veri setiniz $\{0, 0, 0\}$ ise, ortalaması $0$'dır. Her eleman ortalamaya eşittir. Bu durumda OMS $0$ olur.
• Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
• A) Veri setindeki tüm sayılar pozitiftir: Yukarıdaki örneklerde gördüğümüz gibi, sayılar negatif veya sıfır da olabilir. Bu kesinlikle doğru değildir.
• B) Veri setindeki tüm sayılar negatiftir: Aynı şekilde, sayılar pozitif veya sıfır da olabilir. Bu kesinlikle doğru değildir.
• C) Veri setindeki tüm sayılar birbirine eşittir: Evet, yukarıdaki analizimiz tam da bunu gösteriyor. Her eleman ortalamaya eşitse, tüm elemanlar birbirine eşit olmak zorundadır. Bu kesinlikle doğrudur.
• D) Veri setinin ortalaması sıfırdır: Veri setinin ortalaması $5$ veya $-2$ gibi sıfırdan farklı bir sayı da olabilir. Önemli olan tüm elemanların bu ortalamaya eşit olmasıdır. Bu kesinlikle doğru değildir.

Cevap C seçeneğidir.