2. İki farklı pozitif tam sayı olan $A$ ve $B$ için EBOB($A,B$) ve EKOK($A,B$) değerleri hesaplanmıştır. Aşağıdaki ifadelerden hangisi, $A$ ve $B$ sayıları için asla doğru olamaz?
A) EBOB($A,B$) = $A$
B) EKOK($A,B$) = $A$
C) EBOB($A,B$) > EKOK($A,B$)
D) EKOK($A,B$) = $A \cdot B$
Bu soruyu çözmek için EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarını hatırlayalım ve seçenekleri tek tek inceleyelim.
- A) EBOB($A,B$) = $A$: EBOB, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Eğer EBOB($A,B$) = $A$ ise, bu $A$'nın $B$'yi tam böldüğü anlamına gelir. Örneğin, $A=6$ ve $B=12$ ise, EBOB(6,12) = 6'dır. Bu durum mümkündür.
- B) EKOK($A,B$) = $A$: EKOK, iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Eğer EKOK($A,B$) = $A$ ise, bu $B$'nin $A$'yı tam bölmesi gerektiği anlamına gelir. Yani $A$, $B$'nin bir katı olmalıdır. Ancak soruda $A$ ve $B$'nin farklı pozitif tam sayılar olduğu belirtilmiş. Bu durumda $A$, $B$'nin bir katı olamaz, çünkü $A$ ve $B$ farklı sayılar. Eğer $A$, $B$'nin bir katı olsaydı ve EKOK($A,B$) = $A$ olsaydı, $B$'nin $A$'dan küçük veya eşit olması gerekirdi. Ama $A$ ve $B$ farklı olduğundan $B$, $A$'dan küçük olmalıdır. Bu durumda EKOK($A,B$) = $A$ olması için $B$, $A$'yı tam bölmelidir. Örneğin, $A=6$ ve $B=3$ ise EKOK(6,3) = 6'dır. Bu durum da mümkündür.
- C) EBOB($A,B$) > EKOK($A,B$): EBOB, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğü, EKOK ise iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Bir sayının bölenleri, kendisinden büyük olamaz. Aynı şekilde, bir sayının katları, kendisinden küçük olamaz. Bu nedenle, EBOB her zaman EKOK'tan küçük veya eşit olmalıdır. EBOB($A,B$) > EKOK($A,B$) olması mümkün değildir.
- D) EKOK($A,B$) = $A \cdot B$: EKOK($A,B$) = $A \cdot B$ olması, $A$ ve $B$ sayılarının aralarında asal olduğu anlamına gelir. Yani, $A$ ve $B$'nin 1'den başka ortak böleni yoktur. Örneğin, $A=3$ ve $B=5$ ise, EKOK(3,5) = 15 = 3 * 5'tir. Bu durum da mümkündür.
Bu analizlere göre, EBOB($A,B$) > EKOK($A,B$) ifadesi asla doğru olamaz.
Cevap C seçeneğidir.
