Bir kenarı (x-3) cm olan karenin alanını hesaplamak isteyen bir öğrenci aşağıdaki özdeşliklerden hangisini kullanmalıdır?
A) \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
B) \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
C) \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
D) \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kenarı verilen karenin alanını bulmak için hangi özdeşliği kullanmamız gerektiğini anlamaya çalışacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Karenin Alan Formülünü Hatırlayalım: Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur. Yani, kenar uzunluğu $k$ ise, alan $k \times k = k^2$ olur.
- 2. Sorudaki Kenar Uzunluğunu Belirleyelim: Soruda bize verilen karenin bir kenar uzunluğu $(x-3)$ cm'dir.
- 3. Alanı İfade Edelim: Karenin alanını bulmak için kenar uzunluğunun karesini almalıyız. Bu durumda alan, $(x-3)^2$ olacaktır.
- 4. İfadeyi Özdeşliklerle Karşılaştıralım: Şimdi elimizdeki ifade $(x-3)^2$ şeklindedir. Bu ifade, iki terimin farkının karesi şeklindedir. Yani, genel olarak $(a-b)^2$ biçimindedir.
- 5. Seçeneklerdeki Özdeşlikleri İnceleyelim:
- A) $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $: Bu özdeşlik, iki terimin farkının karesini açmak için kullanılır. Bizim ifademiz $(x-3)^2$ olduğu için, bu özdeşlik tam olarak aradığımız formattadır. Burada $a=x$ ve $b=3$ olarak düşünebiliriz.
- B) $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $: Bu özdeşlik, iki terimin toplamının karesini açmak için kullanılır. Bizim ifademizde terimler arasında çıkarma işlemi olduğu için bu özdeşlik uygun değildir.
- C) $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: Bu özdeşlik, iki kare farkı özdeşliğidir. Bizim ifademiz $(x-3)^2$ yani bir ifadenin karesi olduğu için bu özdeşlik de uygun değildir.
- D) $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $: Bu özdeşlik, iki terimin farkının küpünü açmak için kullanılır. Bizim ifademiz bir kare olduğu için bu özdeşlik de uygun değildir.
- 6. Doğru Özdeşliği Seçelim: Gördüğümüz gibi, $(x-3)^2$ ifadesini açmak için en uygun özdeşlik $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ özdeşliğidir. Bu özdeşliği kullanarak alanı $x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9$ olarak bulabiliriz.
Cevap A seçeneğidir.
