10. Sınıf Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı Nasıl Bulunur? Test 2

Bir $N$ sayısının pozitif tam sayı bölen sayısı 12'dir ve $N$ sayısı 10'un bir katıdır. Buna göre, $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 60
B) 90
C) 120
D) 180

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek $N$ sayısının alabileceği en küçük değeri bulalım.

• Adım 1: Bölen Sayısı Formülü

Bir sayının pozitif tam sayı bölen sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Eğer $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, bölen sayısı $(a_1 + 1)(a_2 + 1)...(a_k + 1)$ olur.

• Adım 2: Bölen Sayısı 12 Olan Durumlar

Soruda $N$'nin bölen sayısının 12 olduğu verilmiş. O halde $(a_1 + 1)(a_2 + 1)...(a_k + 1) = 12$ olmalı. 12'yi çarpanlarına ayırarak olası durumları inceleyelim:

• $12 = 12 \rightarrow a_1 = 11 \rightarrow N = p_1^{11}$
• $12 = 6 \cdot 2 \rightarrow a_1 = 5, a_2 = 1 \rightarrow N = p_1^5 \cdot p_2^1$
• $12 = 4 \cdot 3 \rightarrow a_1 = 3, a_2 = 2 \rightarrow N = p_1^3 \cdot p_2^2$
• $12 = 3 \cdot 2 \cdot 2 \rightarrow a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 1 \rightarrow N = p_1^2 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1$
• Adım 3: 10'un Katı Olma Şartı

$N$ sayısı 10'un katı olduğuna göre, $N$ sayısı $2$ ve $5$ asal çarpanlarını içermelidir. Yani $N = 2^a \cdot 5^b \cdot ...$ şeklinde olmalı ve $a \ge 1$ ve $b \ge 1$ olmalıdır.

• Adım 4: Olası Durumları Değerlendirme ve En Küçük Değeri Bulma

Şimdi yukarıdaki durumları göz önünde bulundurarak $N$'nin alabileceği en küçük değeri bulmaya çalışalım:

• $N = p_1^{11}$ olamaz, çünkü hem 2 hem de 5 çarpanını içermesi gerekir.
• $N = p_1^5 \cdot p_2^1$ durumunda; $p_1 = 2$ ve $p_2 = 5$ alırsak $N = 2^5 \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160$ olur. $p_1 = 5$ ve $p_2 = 2$ alırsak $N = 5^5 \cdot 2$ çok büyük bir sayı olur.
• $N = p_1^3 \cdot p_2^2$ durumunda; $p_1 = 2$ ve $p_2 = 5$ alırsak $N = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$ olur. $p_1 = 5$ ve $p_2 = 2$ alırsak $N = 5^3 \cdot 2^2 = 125 \cdot 4 = 500$ olur.
• $N = p_1^2 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1$ durumunda; $p_1 = 2, p_2 = 5$ alırsak $N = 2^2 \cdot 5 \cdot p_3 = 20 \cdot p_3$ olur. $p_3$'e verebileceğimiz en küçük asal sayı 3'tür. Bu durumda $N = 20 \cdot 3 = 60$ olur.
• Adım 5: Karşılaştırma

Bulduğumuz değerler arasında en küçüğü 60'tır. 60'ın bölenleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60'tır. Yani 12 tane böleni vardır ve 10'un katıdır.

Cevap A seçeneğidir.