Bir matematik kulübünde, üyeler 'Kare Dostu' adında bir sayı özelliği üzerinde çalışmaktadır. Bir sayının pozitif tam sayı bölen sayısı tek ise o sayıya 'Kare Dostu' denir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle bir 'Kare Dostu' sayıdır?
A) Bir asal sayının 4. kuvveti ($p^4$)
B) İki farklı asal sayının çarpımı ($p \cdot q$)
C) Bir asal sayının 5. kuvveti ($p^5$)
D) İki farklı asal sayının küpleri çarpımı ($p^3 \cdot q^3$)
Merhaba arkadaşlar, matematik kulübümüzün 'Kare Dostu' sayılarını keşfetmeye hazır mısınız? Bir sayının 'Kare Dostu' olabilmesi için pozitif tam sayı bölen sayısının tek olması gerekiyor. Şimdi seçenekleri inceleyerek hangisinin kesinlikle 'Kare Dostu' olduğunu bulalım:
- A) Bir asal sayının 4. kuvveti ($p^4$): Bir sayının bölen sayısını bulmak için, sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini kullanırız. $p^4$ sayısının bölenleri $p^0, p^1, p^2, p^3, p^4$ şeklindedir. Yani toplamda 5 tane böleni vardır. 5 tek sayı olduğu için $p^4$ 'Kare Dostu'dur.
- B) İki farklı asal sayının çarpımı ($p \cdot q$): $p \cdot q$ sayısının bölenleri $1, p, q, p \cdot q$ şeklindedir. Toplamda 4 tane böleni vardır. 4 çift sayı olduğu için $p \cdot q$ 'Kare Dostu' değildir.
- C) Bir asal sayının 5. kuvveti ($p^5$): $p^5$ sayısının bölenleri $p^0, p^1, p^2, p^3, p^4, p^5$ şeklindedir. Yani toplamda 6 tane böleni vardır. 6 çift sayı olduğu için $p^5$ 'Kare Dostu' değildir.
- D) İki farklı asal sayının küpleri çarpımı ($p^3 \cdot q^3$): $p^3 \cdot q^3$ sayısının bölen sayısını bulmak için, asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarparız: $(3+1) \cdot (3+1) = 4 \cdot 4 = 16$. 16 çift sayı olduğu için $p^3 \cdot q^3$ 'Kare Dostu' değildir.
Gördüğümüz gibi, sadece A seçeneğindeki ifade her zaman tek sayıda bölen sayısına sahip. Bu da onu 'Kare Dostu' yapar.
Cevap A seçeneğidir.
