Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 16'dır. Bu sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( 2^3 \times 3^3 \)
B) \( 2^2 \times 3 \times 5 \)
C) \( 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)
D) \( 2^7 \)
İşte bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözümü:
Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulma yöntemini hatırlayalım: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_n^{a_n}$ ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_n + 1)$'dir. Sorumuzda bu sayının 16 olduğu verilmiş. Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $2^3 \times 3^3$: Bu sayının pozitif bölen sayısı $(3+1) \times (3+1) = 4 \times 4 = 16$'dır. Bu seçenek ilk bakışta doğru gibi duruyor.
- B) $2^2 \times 3 \times 5$: Bu sayının pozitif bölen sayısı $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$'dir. Bu seçenek doğru değil.
- C) $2 \times 3 \times 5 \times 7$: Bu sayının pozitif bölen sayısı $(1+1) \times (1+1) \times (1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$'dır. Bu seçenek de doğru olabilir.
- D) $2^7$: Bu sayının pozitif bölen sayısı $(7+1) = 8$'dir. Bu seçenek doğru değil.
Şimdi A ve C seçeneklerini tekrar değerlendirelim. Soru bizden *olabilir* olanı istiyor. A seçeneğinde $2^3 \times 3^3$ var. C seçeneğinde ise $2 \times 3 \times 5 \times 7$ var. Her ikisinin de pozitif bölen sayısı 16. Ancak soru kökünde asal çarpanlarına ayrılmış *hali* dediği için, farklı asal çarpanların çarpımı şeklinde olması daha olasıdır. Bu nedenle C seçeneği daha uygun bir cevap olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
