10. Sınıf Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı Nasıl Bulunur? Test 2

Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 10 olan en küçük doğal sayı kaçtır?

A) 36
B) 48
C) 64
D) 72

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek pozitif tam sayı bölenleri konusunu daha iyi anlayalım. Unutmayın, matematik keyifli bir yolculuktur!

Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 10 olan en küçük doğal sayıyı bulmak için şu adımları izleyelim:

• Adım 1: Bölen Sayısı Formülü

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_n^{a_n}$ ise, bu sayının pozitif bölen sayısı $(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_n + 1)$'dir.

• Adım 2: 10'u Çarpanlarına Ayırma

Bölen sayısının 10 olması için, yukarıdaki formülde elde edeceğimiz çarpımın 10'a eşit olması gerekir. 10'u çarpanlarına ayıralım: $10 = 2 \cdot 5$. Bu durumda iki farklı durum söz konusu olabilir:

• Durum 1: Bir asal sayının kuvveti 9 olabilir. Yani sayımız $p^9$ şeklinde olabilir.
• Durum 2: İki farklı asal sayının kuvvetleri 1 ve 4 olabilir. Yani sayımız $p^1 \cdot q^4$ şeklinde olabilir.
• Adım 3: Durumları Değerlendirme
• Durum 1: En küçük asal sayı olan 2'yi alırsak, sayımız $2^9 = 512$ olur.
• Durum 2: En küçük asal sayılar olan 2 ve 3'ü alalım. İki farklı şekilde deneyebiliriz:
  • $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$
  • $2^1 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$
• Adım 4: Karşılaştırma ve Sonuç

Bulduğumuz sayıları karşılaştıralım: 512, 48 ve 162. En küçük olan 48'dir.

Bu nedenle, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 10 olan en küçük doğal sayı 48'dir.

Cevap B seçeneğidir.