\( 3^4 \cdot 9^2 \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( 27^2 \)Sevgili öğrenciler, bu tür üslü sayılarla yapılan işlemlerde, farklı tabanları aynı tabana dönüştürmek genellikle en kolay yoldur. Hadi adım adım bu işlemi çözelim:
Bize verilen ifade $ 3^4 \cdot 9^2 $ şeklindedir. Burada iki farklı taban görüyoruz: $3$ ve $9$. Amacımız, bu tabanları aynı hale getirmek.
Farklı tabanlardan biri $3$, diğeri $9$. $9$ sayısının $3$'ün bir kuvveti olduğunu biliyoruz. $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$ şeklinde yazılabilir.
Şimdi $9$ yerine $3^2$ yazarak ifademizi yeniden düzenleyelim:
$ 3^4 \cdot (3^2)^2 $
Hatırlayalım: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. Yani $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ kuralını kullanacağız.
İfademizdeki $ (3^2)^2 $ kısmına bu kuralı uygulayalım:
$ (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 $
Şimdi ifademiz şu hale geldi:
$ 3^4 \cdot 3^4 $
Hatırlayalım: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır. Yani $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ kuralını kullanacağız.
İfademizdeki $ 3^4 \cdot 3^4 $ kısmına bu kuralı uygulayalım:
$ 3^4 \cdot 3^4 = 3^{4+4} = 3^8 $
İşlemimizin sonucu $ 3^8 $ olarak bulundu. Şimdi seçeneklere bakalım ve her birini $3$ tabanında yazmaya çalışalım:
A) $ 27^2 $: $ 27 = 3^3 $ olduğundan, $ (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6 $. Bu bizim sonucumuzla eşleşmiyor.
B) $ 9^4 $: $ 9 = 3^2 $ olduğundan, $ (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 $. Bu bizim sonucumuzla eşleşiyor.
C) $ 3^8 $: Bu doğrudan bizim sonucumuzla eşleşiyor.
D) $ 81^2 $: $ 81 = 3^4 $ olduğundan, $ (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 $. Bu da bizim sonucumuzla eşleşiyor.
Gördüğümüz gibi, B, C ve D seçenekleri matematiksel olarak $ 3^8 $ değerine eşittir. Ancak, sorunun bizden istediği en sade ve temel taban olan $3$ cinsinden ifade edildiği için genellikle $ 3^8 $ cevabı tercih edilir. Seçenekler arasında doğrudan $ 3^8 $ ifadesi C seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
