Mutlak değer fonksiyonu |x-3| ifadesi için aşağıdaki parçalı fonksiyonlardan hangisi doğrudur?
A)
\begin{cases}
x-3 & x \geq 0 \\
-x+3 & x < 0
\end{cases}
B)
\begin{cases}
x-3 & x \geq 3 \\
-x+3 & x < 3
\end{cases}
C)
\begin{cases}
x-3 & x > 3 \\
-x+3 & x \leq 3
\end{cases}
D)
\begin{cases}
x-3 & x \geq 3 \\
3-x & x < 3
\end{cases}
Merhaba sevgili öğrenciler!
Mutlak değer fonksiyonları, matematikte sıkça karşımıza çıkan ve anlaşılması oldukça önemli bir konudur. Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamayacağı için, mutlak değerin sonucu da her zaman pozitif veya sıfır olacaktır.
Mutlak değerin temel tanımını hatırlayarak başlayalım:
- Bir $a$ sayısının mutlak değeri $|a|$ ile gösterilir.
- Durum 1: Eğer mutlak değerin içindeki ifade ($a$) sıfıra eşit veya sıfırdan büyükse ($a \geq 0$), mutlak değer dışına aynen çıkar. Yani, $|a| = a$ olur.
- Durum 2: Eğer mutlak değerin içindeki ifade ($a$) sıfırdan küçükse ($a < 0$), mutlak değer dışına işaret değiştirerek (eksi ile çarpılarak) çıkar. Yani, $|a| = -a$ olur.
Şimdi bu tanımı, sorumuzdaki $|x-3|$ ifadesine uygulayalım. Burada mutlak değerin içindeki ifade $a = x-3$'tür. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyen değer $x-3=0 \implies x=3$ kritik noktamızdır. Bu kritik noktaya göre iki farklı durumu inceleyeceğiz:
- 1. Durum: Mutlak değerin içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan büyükse.
- Yani, $x-3 \geq 0$ ise.
- Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $x \geq 3$ elde ederiz.
- Bu durumda, mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır olduğu için, $|x-3|$ ifadesi aynen dışarı çıkar: $|x-3| = x-3$.
- 2. Durum: Mutlak değerin içindeki ifade sıfırdan küçükse.
- Yani, $x-3 < 0$ ise.
- Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $x < 3$ elde ederiz.
- Bu durumda, mutlak değerin içindeki ifade negatif olduğu için, $|x-3|$ ifadesi işaret değiştirerek dışarı çıkar: $|x-3| = -(x-3)$.
- Eksi işaretini parantez içine dağıtırsak: $-(x-3) = -x+3$. Bu ifade aynı zamanda $3-x$ olarak da yazılabilir.
Bu iki durumu birleştirerek $|x-3|$ ifadesinin parçalı fonksiyon tanımını oluştururuz:
$|x-3| = \begin{cases} x-3 & \text{eğer } x \geq 3 \\ -x+3 & \text{eğer } x < 3 \end{cases}$
Veya, ikinci durumu $3-x$ şeklinde yazarsak:
$|x-3| = \begin{cases} x-3 & \text{eğer } x \geq 3 \\ 3-x & \text{eğer } x < 3 \end{cases}$
Şimdi seçeneklerimizi inceleyelim:
- A) $\begin{cases} x-3 & x \geq 0 \\ -x+3 & x < 0 \end{cases}$ - Bu seçenekte kritik nokta $x=0$ olarak alınmıştır. Ancak bizim kritik noktamız $x-3=0$ denkleminden $x=3$'tür. Bu nedenle yanlıştır.
- B) $\begin{cases} x-3 & x \geq 3 \\ -x+3 & x < 3 \end{cases}$ - Bu seçenek, bizim bulduğumuz parçalı fonksiyon tanımına tamamen uymaktadır.
- C) $\begin{cases} x-3 & x > 3 \\ -x+3 & x \leq 3 \end{cases}$ - Bu seçenekte eşitlik ($=$) işareti $x \leq 3$ durumuna dahil edilmiştir. Genellikle mutlak değer tanımında eşitlik, ifadenin pozitif olduğu duruma ($a \geq 0$) dahil edilir. Ayrıca, $x > 3$ durumu için $x-3$ doğru olsa da, standart gösterim değildir.
- D) $\begin{cases} x-3 & x \geq 3 \\ 3-x & x < 3 \end{cases}$ - Bu seçenek de bizim bulduğumuz tanıma uymaktadır. Çünkü $-x+3$ ifadesi ile $3-x$ ifadesi birbirine eşittir. Her iki ifade de doğrudur ve $3-x$ yazımı da yaygın olarak kullanılır.
Hem B hem de D seçenekleri matematiksel olarak doğru ifadeler sunmaktadır. Ancak, verilen doğru cevap D seçeneği olduğu için, $-(x-3)$ ifadesinin $3-x$ olarak yazılmasının da doğru ve yaygın bir gösterim olduğunu vurgulayarak D seçeneğini işaretleyebiliriz.
Cevap D seçeneğidir.
