Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun grafiğinin kaç farklı doğrusal parçadan oluştuğunu adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x| + |x-1|$.
- 1. Adım: Mutlak Değer İfadelerinin Kritik Noktalarını Bulma
- Mutlak değer fonksiyonlarını parçalı fonksiyon olarak yazabilmek için, mutlak değer içindeki ifadeleri sıfır yapan $x$ değerlerini bulmalıyız. Bu değerlere "kritik noktalar" denir.
- $|x|$ ifadesi için kritik nokta: $x=0$
- $|x-1|$ ifadesi için kritik nokta: $x-1=0 \implies x=1$
- Bu kritik noktalar ($x=0$ ve $x=1$), sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır. Bu aralıklar, fonksiyonun farklı doğrusal denklemlerle tanımlandığı bölgeler olacaktır.
- 2. Adım: Her Bir Aralık İçin Fonksiyonu Yeniden Yazma
- Şimdi, belirlediğimiz aralıklarda mutlak değer ifadelerinin işaretlerini inceleyerek $f(x)$ fonksiyonunu parçalı olarak yazalım:
- Durum 1: $x < 0$
- Bu aralıkta $x$ negatiftir, bu yüzden $|x| = -x$.
- Bu aralıkta $x-1$ de negatiftir (örneğin, $x=-2$ için $x-1=-3$), bu yüzden $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.
- Fonksiyonumuz bu aralıkta: $f(x) = (-x) + (-x+1) = -2x+1$. Bu, bir doğrusal fonksiyondur.
- Durum 2: $0 \le x < 1$
- Bu aralıkta $x$ pozitif veya sıfırdır, bu yüzden $|x| = x$.
- Bu aralıkta $x-1$ negatiftir (örneğin, $x=0.5$ için $x-1=-0.5$), bu yüzden $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.
- Fonksiyonumuz bu aralıkta: $f(x) = (x) + (-x+1) = 1$. Bu, sabit bir fonksiyondur ve aynı zamanda eğimi sıfır olan bir doğrusal fonksiyondur.
- Durum 3: $x \ge 1$
- Bu aralıkta $x$ pozitif veya sıfırdır, bu yüzden $|x| = x$.
- Bu aralıkta $x-1$ pozitif veya sıfırdır (örneğin, $x=2$ için $x-1=1$), bu yüzden $|x-1| = x-1$.
- Fonksiyonumuz bu aralıkta: $f(x) = (x) + (x-1) = 2x-1$. Bu, bir doğrusal fonksiyondur.
- 3. Adım: Parçalı Fonksiyonu Özetleme ve Doğrusal Parçaları Sayma
- Yukarıdaki adımları birleştirerek $f(x)$ fonksiyonunu parçalı olarak yazarsak:
- $f(x) = \begin{cases} -2x+1 & \text{eğer } x < 0 \\ 1 & \text{eğer } 0 \le x < 1 \\ 2x-1 & \text{eğer } x \ge 1 \end{cases}$
- Gördüğümüz gibi, fonksiyonumuz üç farklı aralıkta üç farklı doğrusal ifade ile tanımlanmıştır:
- Birinci doğrusal parça: $y = -2x+1$ (için $x < 0$)
- İkinci doğrusal parça: $y = 1$ (için $0 \le x < 1$)
- Üçüncü doğrusal parça: $y = 2x-1$ (için $x \ge 1$)
- Bu üç ifade, fonksiyonun grafiğini oluşturan üç farklı doğrusal parçayı temsil eder. Bu parçalar kritik noktalarda birbirine bağlanır ve fonksiyonun grafiği sürekli bir yapı oluşturur.
Bu nedenle, $f(x) = |x| + |x-1|$ fonksiyonunun grafiği 3 farklı doğrusal parçadan oluşur.
Cevap C seçeneğidir.
