9. Sınıf f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyon Test 1

Bir mühendis, bir sistemin giriş sinyalini hiçbir kayıp veya kazanç olmadan doğrudan çıkışa aktarmasını sağlayacak bir kontrol mekanizması tasarlamaktadır. Bu mekanizmanın matematiksel modeli olarak $f(x)=x$ doğrusal referans fonksiyonunu kullanmayı düşünmektedir. Bu tasarım bağlamında, $f(x)=x$ fonksiyonunun aşağıdaki özelliklerinden hangisi, mühendisin amacına en uygun özelliği temsil eder?

A) Fonksiyonun türevinin sabit bir değer ($1$) olması.
B) Fonksiyonun grafiğinin orijinden geçmesi.
C) Fonksiyonun her girdi değeri $x$ için çıktı değerinin de $x$ olması.
D) Fonksiyonun, bileşke işleminde birim (etkisiz) eleman görevi görmesi.

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım inceleyerek mühendisin amacına en uygun özelliği bulmaya çalışalım:

• Sorunun Anlamı: Mühendis, bir sistemin giriş sinyalini değiştirmeden (kayıp veya kazanç olmadan) doğrudan çıkışa aktarmasını istiyor. Yani, sisteme ne girerse aynı şekilde çıkmalı.
• $f(x) = x$ Fonksiyonunun İncelenmesi: Bu fonksiyon, verilen herhangi bir $x$ değeri için aynı $x$ değerini çıktı olarak verir. Örneğin, $x=5$ ise $f(5) = 5$ olur.
• Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
  • A) Fonksiyonun türevinin sabit bir değer ($1$) olması. Türev, fonksiyonun değişim hızını gösterir. Türevin 1 olması, fonksiyonun doğrusal olduğunu ve eğiminin 1 olduğunu belirtir. Bu, sistemin giriş sinyalini orantılı olarak değiştirmeden aktardığını gösterir, ancak doğrudan "aynı" şekilde aktardığını garanti etmez.
  • B) Fonksiyonun grafiğinin orijinden geçmesi. Grafiğin orijinden geçmesi, $x=0$ olduğunda $f(x)=0$ olduğunu gösterir. Bu, sistemin sıfır giriş sinyali için sıfır çıkış sinyali vereceği anlamına gelir. Ancak bu, tüm giriş sinyallerinin aynı şekilde aktarılması için yeterli bir koşul değildir.
  • C) Fonksiyonun her girdi değeri $x$ için çıktı değerinin de $x$ olması. Bu, tam olarak mühendisin istediği şeydir. Eğer $f(x) = x$ ise, sisteme hangi $x$ değeri girilirse, aynı $x$ değeri çıkış olarak alınır. Bu, sinyalin hiçbir değişiklik olmadan aktarılması anlamına gelir.
  • D) Fonksiyonun, bileşke işleminde birim (etkisiz) eleman görevi görmesi. Bileşke işleminde birim eleman olması, başka bir fonksiyonla bileşkeye girdiğinde o fonksiyonu değiştirmemesi anlamına gelir. Yani $g(f(x)) = g(x)$ veya $f(g(x)) = g(x)$ olması demektir. Bu özellik de önemlidir, ancak mühendisin temel amacını doğrudan yansıtmaz.
• Sonuç: Mühendisin amacı, giriş sinyalini değiştirmeden çıkışa aktarmak olduğundan, fonksiyonun her girdi değeri için aynı çıktıyı vermesi en önemli özelliktir.

Cevap C seçeneğidir.