Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, birebir ve örten fonksiyonlar olan $f$ ve $g$ için bazı bilgiler verilmiş ve bizden $g(x)$ fonksiyonunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
- Adım 1: $f(x)$ fonksiyonunun tersini ($f^{-1}(x)$) bulalım.
- $f(x) = 3x + 1$ olarak verilmiş.
- Bir fonksiyonun tersini bulmak için $y = f(x)$ deriz, sonra $x$ ve $y$ yer değiştirir ve $y$ yalnız bırakılır.
- $y = 3x + 1$
- $x = 3y + 1$ (x ve y yer değiştirdi)
- $x - 1 = 3y$
- $y = \frac{x - 1}{3}$
- Yani, $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$ elde ederiz.
- Adım 2: Verilen $(f^{-1} \circ g^{-1})(x)$ ifadesini kullanalım.
- Bize $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 2x - 1$ olarak verilmiş.
- Fonksiyon bileşkesinin tanımına göre $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = f^{-1}(g^{-1}(x))$ demektir.
- O halde, $f^{-1}(g^{-1}(x)) = 2x - 1$ yazabiliriz.
- Adım 3: $f^{-1}(x)$ ifadesini kullanarak $g^{-1}(x)$ fonksiyonunu bulalım.
- Adım 1'de $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$ bulmuştuk.
- Şimdi bu ifadede $x$ yerine $g^{-1}(x)$ yazarsak: $f^{-1}(g^{-1}(x)) = \frac{g^{-1}(x) - 1}{3}$ olur.
- Bu ifadeyi Adım 2'deki eşitlikle birleştirelim: $\frac{g^{-1}(x) - 1}{3} = 2x - 1$.
- Denklemi $g^{-1}(x)$ için çözelim:
- $g^{-1}(x) - 1 = 3 \cdot (2x - 1)$
- $g^{-1}(x) - 1 = 6x - 3$
- $g^{-1}(x) = 6x - 3 + 1$
- $g^{-1}(x) = 6x - 2$ elde ederiz.
- Adım 4: $g^{-1}(x)$ fonksiyonunun tersini alarak $g(x)$ fonksiyonunu bulalım.
- $g^{-1}(x) = 6x - 2$ olarak bulduk.
- Bir fonksiyonun tersini bulmak için yine $y = g^{-1}(x)$ deriz, sonra $x$ ve $y$ yer değiştirir ve $y$ yalnız bırakılır.
- $y = 6x - 2$
- $x = 6y - 2$ (x ve y yer değiştirdi)
- $x + 2 = 6y$
- $y = \frac{x + 2}{6}$
- Yani, $g(x) = \frac{x + 2}{6}$ elde ederiz.
Bu durumda, $g(x) = \frac{x + 2}{6}$ fonksiyonu bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
