10. Sınıf Harizmi ve Tamkareye Tamamlama Yöntemi Test 2

\(x^2 + 5x - 6 = 0\) denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle çözülürken, denklemin her iki tarafına hangi sayı eklenmelidir?

A) 25/4
B) 6,25
C) 25
D) 5/2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen ikinci dereceden denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle çözerken denklemin her iki tarafına hangi sayıyı eklememiz gerektiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Tam Kareye Tamamlama Yönteminin Amacı:

  Tam kareye tamamlama yöntemi, $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki bir denklemi $(x+k)^2 = m$ veya $(x-k)^2 = m$ gibi bir ifadeye dönüştürerek çözmemizi sağlar. Bu sayede $x$'i kolayca bulabiliriz.

• Yöntemin Temel Prensibi:

  Bir ifadeyi $(x+k)^2$ veya $(x-k)^2$ şeklinde tam kare yapmak için, $x^2 + bx$ şeklindeki bir ifadeye $x$'in katsayısının yarısının karesini eklememiz gerekir. Yani, $x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = (x + \frac{b}{2})^2$ olur.

• Denklemi Hazırlama:

  Verilen denklem $x^2 + 5x - 6 = 0$'dır.

  Tam kareye tamamlama işlemine başlamadan önce, sabit terimi (yani $-6$) denklemin sağ tarafına taşırız. Bu, $x^2$ ve $x$ terimlerini sol tarafta yalnız bırakmamızı sağlar.

  Denklem şu hale gelir: $x^2 + 5x = 6$.

• Eklenecek Sayıyı Bulma:

  Şimdi denklemin sol tarafındaki $x^2 + 5x$ ifadesine odaklanalım.

  Burada $x$'in katsayısı (yani $b$) $5$'tir.

  Kuralımıza göre, $x$'in katsayısının yarısının karesini eklemeliyiz:

  • Önce $x$'in katsayısının yarısını bulalım: $\frac{5}{2}$.
  • Şimdi bu sayının karesini alalım: $(\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}$.

  Bu durumda, denklemin sol tarafını tam kare yapmak için her iki tarafa eklememiz gereken sayı $\frac{25}{4}$'tür.

• Sonuç:

  Denklemin her iki tarafına eklenmesi gereken sayı $\frac{25}{4}$'tür. Eğer bu sayıyı ekleseydik, denklem $x^2 + 5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$ olurdu ve sol taraf $(x + \frac{5}{2})^2$ şeklinde bir tam kare ifadeye dönüşürdü.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $\frac{25}{4}$ değeri A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.