6. sınıf matematik asal sayılar etkinlik / çalışma kağıdı Test 1

Bir sınıftaki öğrenciler 2'şerli, 3'erli ve 5'erli gruplandırıldığında her seferinde 1 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu 30 ile 50 arasında olduğuna göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

A) 31
B) 37
C) 41
D) 47

Bu problem, hem bölme işlemini hem de ortak katları anlamamızı gerektiren güzel bir soru. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Anahtar Bilgileri Belirleyelim

  Sınıftaki öğrenciler 2'şerli, 3'erli ve 5'erli gruplandırıldığında her seferinde 1 öğrenci artıyor. Bu ne demek? Demek ki, öğrenci sayısını 2'ye böldüğümüzde kalan 1, 3'e böldüğümüzde kalan 1 ve 5'e böldüğümüzde kalan yine 1 oluyor. Ayrıca, sınıf mevcudu 30 ile 50 arasında olmalı.

• Adım 2: Ortak Katları Bulmaya Yönelik İlk Adım - Kalanı Olmasaydı Ne Olurdu?

  Eğer her seferinde 1 öğrenci artmasaydı, yani hiç öğrenci artmasaydı, sınıf mevcudu hem 2'nin, hem 3'ün hem de 5'in tam katı olurdu. Yani, bu sayı 2, 3 ve 5'in Ortak Katı olurdu. Bizim aradığımız sayı ise bu ortak katların 1 fazlası olacak.

• Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım

  2, 3 ve 5 sayıları asal sayılar olduğu için, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK'u) bu sayıların çarpımıdır.

  EKOK $(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30$.

  Bu ne anlama geliyor? Eğer sınıfta hiç öğrenci artmasaydı, sınıf mevcudu 30, 60, 90 gibi 30'un katları olabilirdi.

• Adım 4: Kalanı Dikkate Alarak Olası Sınıf Mevcutlarını Bulalım

  Problemde her seferinde 1 öğrenci arttığı belirtilmişti. Bu durumda, sınıf mevcudu EKOK'un katlarının 1 fazlası olmalıdır. Yani, $(30 \times k) + 1$ şeklinde bir sayı arıyoruz (burada $k$ bir tam sayıdır).

  Eğer $k=1$ olursa: $(30 \times 1) + 1 = 30 + 1 = 31$ öğrenci.

  Eğer $k=2$ olursa: $(30 \times 2) + 1 = 60 + 1 = 61$ öğrenci.

  Ve bu şekilde devam eder...

• Adım 5: Sınıf Mevcudunun Belirlenen Aralığa Uygun Olanını Seçelim

  Soru bize sınıf mevcudunun 30 ile 50 arasında olduğunu söylemişti. Bulduğumuz olası sınıf mevcutlarına bakalım:

  31 sayısı, 30 ile 50 arasına uyuyor mu? Evet, $30 < 31 < 50$.

  61 sayısı, 30 ile 50 arasına uyuyor mu? Hayır, 61 bu aralığın dışında.

  Bu durumda, sınıf mevcudu 31 olmalıdır.

• Adım 6: Cevabı Kontrol Edelim

  Sınıfta 31 öğrenci olduğunu varsayalım:

  2'şerli gruplandırıldığında: $31 \div 2 = 15$ grup ve kalan 1 öğrenci. (Doğru)

  3'erli gruplandırıldığında: $31 \div 3 = 10$ grup ve kalan 1 öğrenci. (Doğru)

  5'erli gruplandırıldığında: $31 \div 5 = 6$ grup ve kalan 1 öğrenci. (Doğru)

  Tüm şartlar sağlanıyor ve 31 sayısı 30 ile 50 arasındadır.

Cevap A seçeneğidir.