6. sınıf matematik asal sayılar etkinlik / çalışma kağıdı Test 1

Rakamları farklı iki basamaklı bir asal sayının rakamları çarpımı da asal sayıdır. Bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı vardır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, belirli koşulları sağlayan iki basamaklı sayıları bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu koşulları inceleyelim ve doğru cevabı bulalım.

• 1. Koşulları Anlayalım:
  • Sayı iki basamaklı olmalı. Yani $10$ ile $99$ arasında bir sayı.
  • Sayıların rakamları farklı olmalı. Örneğin, $22$ gibi bir sayı olamaz, ama $23$ olabilir.
  • Sayı asal olmalı. Yani sadece $1$'e ve kendisine bölünebilen bir sayı olmalı. (Örnek: $13, 17, 23, ...$)
  • Sayıyı oluşturan rakamların çarpımı da asal olmalı. Örneğin, $23$ sayısının rakamları çarpımı $2 \times 3 = 6$'dır. $6$ asal değildir. Bu yüzden $23$ bu koşulu sağlamaz.
• 2. Rakamları Çarpımı Asal Olan Sayıları Bulalım:

  Bir sayının rakamları çarpımının asal olması için, çarpanlardan birinin $1$ olması ve diğer çarpanın asal bir sayı olması gerekir. Çünkü asal sayılar sadece $1$ ve kendisi ile çarpılarak elde edilir.

  İki basamaklı bir sayıyı $AB$ olarak düşünelim. Burada $A$ onlar basamağı, $B$ birler basamağıdır. $A \in \{1, 2, ..., 9\}$ ve $B \in \{0, 1, ..., 9\}$ olmalıdır.

  Rakamların çarpımı $A \times B$ asal olmalı. Bu durumda:

  • Eğer $A=1$ ise, $B$ asal bir rakam olmalıdır. ($B \neq 0$ çünkü $1 \times 0 = 0$ asal değildir.)
    • $B=2 \implies$ Sayı $12$. Rakamlar farklı ($1 \neq 2$). Çarpım $1 \times 2 = 2$ (asal).
    • $B=3 \implies$ Sayı $13$. Rakamlar farklı ($1 \neq 3$). Çarpım $1 \times 3 = 3$ (asal).
    • $B=5 \implies$ Sayı $15$. Rakamlar farklı ($1 \neq 5$). Çarpım $1 \times 5 = 5$ (asal).
    • $B=7 \implies$ Sayı $17$. Rakamlar farklı ($1 \neq 7$). Çarpım $1 \times 7 = 7$ (asal).
  • Eğer $B=1$ ise, $A$ asal bir rakam olmalıdır. ($A \neq 0$ zaten onlar basamağı olduğu için $A \ge 1$.)
    • $A=2 \implies$ Sayı $21$. Rakamlar farklı ($2 \neq 1$). Çarpım $2 \times 1 = 2$ (asal).
    • $A=3 \implies$ Sayı $31$. Rakamlar farklı ($3 \neq 1$). Çarpım $3 \times 1 = 3$ (asal).
    • $A=5 \implies$ Sayı $51$. Rakamlar farklı ($5 \neq 1$). Çarpım $5 \times 1 = 5$ (asal).
    • $A=7 \implies$ Sayı $71$. Rakamlar farklı ($7 \neq 1$). Çarpım $7 \times 1 = 7$ (asal).
  • Diğer durumlar (örneğin $A=2, B=3 \implies$ çarpım $6$ asal değil; $A=4, B=1 \implies$ çarpım $4$ asal değil) rakamlar çarpımının asal olma koşulunu sağlamaz.

  Şu ana kadar bulduğumuz aday sayılar: $12, 13, 15, 17, 21, 31, 51, 71$. Tüm bu sayıların rakamları farklıdır ve rakamları çarpımı asaldır.

• 3. Aday Sayıları Asal Olma Koşuluna Göre Filtreleyelim:

  Şimdi bu aday sayılar arasından kendisi de asal olanları seçelim:

  • $12$: Asal değil ($12 = 2 \times 6$).
  • $13$: Asal. Bu sayı koşulları sağlıyor.
  • $15$: Asal değil ($15 = 3 \times 5$).
  • $17$: Asal. Bu sayı koşulları sağlıyor.
  • $21$: Asal değil ($21 = 3 \times 7$).
  • $31$: Asal. Bu sayı koşulları sağlıyor.
  • $51$: Asal değil ($51 = 3 \times 17$).
  • $71$: Asal. Bu sayı koşulları sağlıyor.
• 4. Sonucu Belirleyelim:

  Yukarıdaki incelemeler sonucunda, verilen tüm koşulları sağlayan sayılar şunlardır: $13, 17, 31, 71$.

  Toplamda $4$ farklı sayı vardır.

Cevap B seçeneğidir.