Bir veri sunucusunun $8^7$ GB depolama alanı bulunmaktadır. Eğer bu depolama alanı $4^7$ kullanıcıya eşit olarak dağıtılacaksa, her bir kullanıcı kaç GB depolama alanına sahip olur?
A) $2^7$Harika bir problem! Bu tür soruları çözerken üslü sayılarla işlem yapma becerimizi kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bir veri sunucusunun toplam $8^7$ GB depolama alanı bulunmaktadır. Bu alan $4^7$ kullanıcıya eşit olarak dağıtılacaktır. Bizden istenen, her bir kullanıcının kaç GB depolama alanına sahip olacağını bulmaktır.
Depolama alanı eşit olarak dağıtılacağı için, toplam depolama alanını kullanıcı sayısına bölmemiz gerekir. Bu durumda, hesaplamamız gereken ifade şudur: $\frac{\text{Toplam Depolama Alanı}}{\text{Kullanıcı Sayısı}} = \frac{8^7}{4^7}$
Üslü sayılarda, eğer hem payın hem de paydanın üsleri aynı ise, tabanları bölüp ortak üssü yazabiliriz. Bu kuralı matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
Şimdi bu kuralı kendi problemimize uygulayalım:
$\frac{8^7}{4^7} = (\frac{8}{4})^7$
Parantez içindeki bölme işlemini yapalım: $8 \div 4 = 2$.
Bu durumda ifademiz şu hale gelir: $(2)^7 = 2^7$.
İstersek, tabanları aynı hale getirerek de bölme işlemini yapabiliriz. Hem $8$ hem de $4$, $2$'nin kuvvetleri olarak yazılabilir:
$8 = 2^3$ ve $4 = 2^2$.
Bu değerleri orijinal ifademizde yerine koyalım:
$\frac{8^7}{4^7} = \frac{(2^3)^7}{(2^2)^7}$
Üssün üssü kuralını uygulayalım: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
Pay: $(2^3)^7 = 2^{3 \times 7} = 2^{21}$
Payda: $(2^2)^7 = 2^{2 \times 7} = 2^{14}$
Şimdi ifade $\frac{2^{21}}{2^{14}}$ haline geldi. Tabanlar aynı olduğunda üsleri çıkarma kuralını uygulayalım: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$2^{21-14} = 2^7$.
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık!
Yaptığımız hesaplamalar sonucunda, her bir kullanıcının $2^7$ GB depolama alanına sahip olacağını bulduk.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
