9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Nedir? Örnekler Test 2

Bir dik üçgende dik kenarlardan biri 12 cm, hipotenüse ait yükseklik ise 9.6 cm'dir. Buna göre hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?

A) 15
B) 18
C) 20
D) 24

Bu soruda bir dik üçgenin kenar uzunlukları ve yüksekliği arasındaki ilişkileri kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Verilenleri Belirleyelim:

  Bize verilenler şunlardır:

  Dik kenarlardan biri (örneğin $a$) = $12$ cm

  Hipotenüse ait yükseklik ($h_c$) = $9.6$ cm

  Aradığımız değer ise hipotenüs uzunluğu ($c$).

• Dik Üçgende Alan Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dik üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanabilir:

  1. Dik kenarlar ($a$ ve $b$) kullanılarak: Alan $= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

  2. Hipotenüs ($c$) ve hipotenüse ait yükseklik ($h_c$) kullanılarak: Alan $= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

  Bu iki alan formülü birbirine eşit olmalıdır. Bu eşitliği yazarsak:

  $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

  Her iki tarafı $2$ ile çarparak sadeleştirebiliriz:

  $a \cdot b = c \cdot h_c$

  Bu formül, dik üçgen problemlerinde sıkça kullandığımız önemli bir bağıntıdır.

• Verilenleri Formülde Yerine Koyalım:

  Şimdi elimizdeki değerleri ($a = 12$ cm ve $h_c = 9.6$ cm) bu bağıntıya yerleştirelim:

  $12 \cdot b = c \cdot 9.6$

  Bu denklemden henüz bilmediğimiz diğer dik kenar $b$'yi, hipotenüs $c$ cinsinden ifade edebiliriz:

  $b = \frac{9.6 \cdot c}{12}$

  $b = 0.8 \cdot c$

  Bu ifadeyi bir kenara not edelim.

• Pisagor Teoremini Kullanarak Denklemi Çözelim:

  Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki temel ilişkiyi veren Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım: Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

  $a^2 + b^2 = c^2$

  Şimdi bildiğimiz $a = 12$ değerini ve $b = 0.8 \cdot c$ ifadesini Pisagor Teoremi'nde yerine koyalım:

  $12^2 + (0.8 \cdot c)^2 = c^2$

  $144 + 0.64 \cdot c^2 = c^2$

  Şimdi $c^2$ terimlerini denklemin bir tarafında toplayalım:

  $144 = c^2 - 0.64 \cdot c^2$

  $144 = (1 - 0.64) \cdot c^2$

  $144 = 0.36 \cdot c^2$

  Hipotenüsün karesi $c^2$'yi bulmak için $144$'ü $0.36$'ya bölelim:

  $c^2 = \frac{144}{0.36}$

  Bu işlemi daha kolay yapmak için $0.36$ ondalık sayısını kesir olarak yazabiliriz: $0.36 = \frac{36}{100}$

  $c^2 = \frac{144}{\frac{36}{100}}$

  $c^2 = \frac{144 \cdot 100}{36}$

  $144$ sayısı $36$'nın tam $4$ katıdır ($144 \div 36 = 4$). Bu sadeleştirmeyi yapalım:

  $c^2 = 4 \cdot 100$

  $c^2 = 400$

  Son olarak, $c$'yi bulmak için $400$'ün karekökünü alalım:

  $c = \sqrt{400}$

  $c = 20$ cm

Buna göre hipotenüs uzunluğu $20$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.