Bir ABC dik üçgeninde A açısı 90°'dir. |AB| = 15 cm, |AC| = 20 cm ise, A köşesinden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için Pisagor Teoremi'ni ve üçgenin alan formülünü kullanabiliriz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Hipotenüsün Uzunluğunu Bulma
- ABC bir dik üçgen ve $A$ açısı $90^\circ$ olduğu için, dik kenarlar $|AB|$ ve $|AC|$'dir. Hipotenüs ise $|BC|$ kenarıdır.
- Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
- $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$
- Verilen değerleri yerine yazalım:
- $|BC|^2 = (15)^2 + (20)^2$
- $|BC|^2 = 225 + 400$
- $|BC|^2 = 625$
- Her iki tarafın karekökünü alarak hipotenüsün uzunluğunu buluruz:
- $|BC| = \sqrt{625}$
- $|BC| = 25$ cm
- 2. Adım: Üçgenin Alanını Hesaplama
- Bir üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Bir dik üçgende, dik kenarları taban ve yükseklik olarak alabiliriz.
- $Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC|$
- Verilen değerleri yerine yazalım:
- $Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times 15 \times 20$
- $Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times 300$
- $Alan(ABC) = 150$ cm$^2$
- 3. Adım: Yüksekliği Alan Formülüyle Bulma
- Şimdi, üçgenin alanını hipotenüs ve hipotenüse ait yükseklik cinsinden ifade edelim. A köşesinden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğuna $h_a$ diyelim.
- $Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times |BC| \times h_a$
- Daha önce bulduğumuz alan değerini ve hipotenüs uzunluğunu bu formülde yerine yazalım:
- $150 = \frac{1}{2} \times 25 \times h_a$
- Denklemi $h_a$ için çözelim:
- $300 = 25 \times h_a$
- $h_a = \frac{300}{25}$
- $h_a = 12$ cm
Böylece, A köşesinden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğunu $12$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
