f(x) = $\frac{x^2-4}{x-2}$ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x=2 noktasında süreklidir
B) x=2 noktasında tanımlıdır
C) x=2 noktasında limiti yoktur
D) x=2 noktasında süreksizdir
Bu soruyu çözmek için, bir fonksiyonun belirli bir noktada tanımlı olması, limitinin olması ve sürekli olması kavramlarını adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Fonksiyonun $x=2$ noktasında tanımlı olup olmadığını kontrol edelim.
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasında tanımlı olması demek, $f(a)$ değerinin gerçek bir sayı olması demektir.
- Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ şeklindedir.
- $x=2$ değerini fonksiyonda yerine koyarsak: $f(2) = \frac{2^2-4}{2-2} = \frac{4-4}{0} = \frac{0}{0}$ elde ederiz.
- $\frac{0}{0}$ belirsiz bir ifadedir ve bir sayıya eşit değildir. Bu durum, fonksiyonun $x=2$ noktasında tanımlı olmadığını gösterir.
- Dolayısıyla, B seçeneği ("x=2 noktasında tanımlıdır") yanlıştır.
- Adım 2: Fonksiyonun $x=2$ noktasında limitinin olup olmadığını kontrol edelim.
- Bir fonksiyonun bir noktada limiti olup olmadığını anlamak için, o noktaya sağdan ve soldan yaklaştığımızda fonksiyon değerlerinin aynı sayıya yaklaşıp yaklaşmadığına bakarız.
- $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ limitini hesaplamamız gerekiyor.
- Doğrudan yerine koyma işlemi $\frac{0}{0}$ belirsizliğini verdiğinden, ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.
- Pay kısmındaki $x^2-4$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir ve $(x-2)(x+2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
- Yani, $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ olur.
- $x \neq 2$ olduğu sürece $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Limit alırken $x$ tam olarak $2$ olmadığı için bu sadeleştirmeyi yapabiliriz.
- Bu durumda, $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2)$ olur.
- Şimdi $x=2$ değerini yerine koyarsak: $2+2 = 4$.
- Bu, fonksiyonun $x=2$ noktasında limitinin var olduğunu ve bu limitin $4$ olduğunu gösterir.
- Dolayısıyla, C seçeneği ("x=2 noktasında limiti yoktur") yanlıştır.
- Adım 3: Fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olup olmadığını kontrol edelim.
- Bir fonksiyonun $x=a$ noktasında sürekli olabilmesi için üç şartın aynı anda sağlanması gerekir:
- $f(a)$ tanımlı olmalıdır.
- $\lim_{x \to a} f(x)$ var olmalıdır.
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalıdır.
- Yukarıdaki adımlarda gördük ki:
- $f(2)$ tanımlı değildir (1. şart sağlanmıyor).
- $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ (2. şart sağlanıyor).
- Süreklilik için gerekli olan ilk şart (fonksiyonun o noktada tanımlı olması) sağlanmadığı için, fonksiyon $x=2$ noktasında sürekli değildir.
- Dolayısıyla, A seçeneği ("x=2 noktasında süreklidir") yanlıştır.
- Fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olmaması durumu, fonksiyonun $x=2$ noktasında süreksiz olduğu anlamına gelir.
- Bu da D seçeneğinin ("x=2 noktasında süreksizdir") doğru olduğunu gösterir.
Cevap D seçeneğidir.
