Bir rasyonel fonksiyonun payı 2. dereceden, paydası 1. dereceden polinom ise, bu fonksiyonun grafiği için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Yatay asimptotu vardırMerhaba sevgili öğrenciler!
Bir rasyonel fonksiyonun grafiği için asimptotların varlığını belirlemek, pay ve payda polinomlarının dereceleri arasındaki ilişkiye bağlıdır. Fonksiyonumuzu $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde ifade edelim.
Şimdi, bu bilgilere dayanarak her bir asimptot türünü ve seçenekleri inceleyelim:
Yatay asimptotun varlığı için pay ve payda dereceleri arasındaki ilişki şöyledir:
Bizim durumumuzda $n=2$ ve $m=1$ olduğundan, $n > m$ koşulu sağlanır. Bu durumda fonksiyonun yatay asimptotu yoktur. Dolayısıyla A seçeneği kesinlikle doğru değildir.
Düşey asimptotlar, paydanın sıfır olduğu (yani $Q(x)=0$) ve payın sıfır olmadığı ($P(x) \neq 0$) $x$ değerlerinde oluşur.
Payda 1. dereceden bir polinom olduğu için her zaman bir kökü vardır. Örneğin, $Q(x) = ax+b$ ise $x = -b/a$ bir köktür.
Ancak, eğer paydanın kökü aynı zamanda payın da kökü ise, yani $P(x)$ ve $Q(x)$'in ortak bir çarpanı varsa, o zaman o noktada düşey asimptot yerine bir "delik" (kaldırılabilir süreksizlik) oluşur.
Örnek: $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$. Burada pay 2. dereceden, payda 1. derecedendir. Paydanın kökü $x=1$'dir. Payı çarpanlarına ayırırsak $P(x) = (x-1)(x+1)$ olur. Görüldüğü gibi $x=1$ payın da köküdür. Bu durumda fonksiyon $x \neq 1$ için $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ olarak sadeleşir. Bu fonksiyonun grafiğinde $x=1$ noktasında bir delik vardır, düşey asimptot yoktur.
Bu nedenle, düşey asimptotun kesinlikle var olduğunu söyleyemeyiz. Dolayısıyla B seçeneği kesinlikle doğru değildir.
Eğik (eğri veya çapraz) asimptot, payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla olduğunda (yani $n = m+1$ olduğunda) var olur.
Bizim durumumuzda $n=2$ ve $m=1$ olduğundan, $n = m+1$ koşulu sağlanır ($2 = 1+1$).
Bu durumda, polinom bölmesi yaptığımızda $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = (ax+b) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ şeklinde bir ifade elde ederiz. Burada $ax+b$ eğik asimptotun denklemidir ve $R(x)$'in derecesi $Q(x)$'in derecesinden küçüktür. $x \to \pm \infty$ giderken $\frac{R(x)}{Q(x)}$ ifadesi sıfıra yaklaşır, bu da fonksiyonun $y=ax+b$ doğrusuna yaklaştığı anlamına gelir.
Yukarıdaki düşey asimptot örneğinde olduğu gibi, eğer ortak çarpan varsa ve fonksiyon $f(x) = x+1$ gibi bir doğrusal fonksiyona sadeleşiyorsa, bu doğrusal fonksiyonun kendisi de bir eğik asimptot olarak kabul edilir (çünkü fonksiyon bu doğruya sonsuzda yaklaşır, hatta üzerinde yer alır, sadece bir noktada delik olabilir). Bu durum, eğik asimptotun varlığını ortadan kaldırmaz.
Dolayısıyla, payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla olduğu için eğik asimptot kesinlikle vardır. C seçeneği kesinlikle doğrudur.
C seçeneğinin doğru olduğunu gösterdiğimiz için, fonksiyonun kesinlikle bir eğik asimptotu vardır. Bu nedenle D seçeneği yanlıştır.
Cevap C seçeneğidir.
