10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Rasyonel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1

g(x) = $\frac{4x^2-16}{2x-4}$ fonksiyonunun grafiği ile y = 2x+4 doğrusu arasındaki dik uzaklık kaç birimdir?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 8

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun grafiği ile bir doğru arasındaki dik uzaklığı bulmamız isteniyor. İlk bakışta karmaşık gibi görünse de, fonksiyonu dikkatlice incelediğimizde çözümün ne kadar basit olduğunu göreceğiz.

• Adım 1: $g(x)$ fonksiyonunu sadeleştirelim.

  Bize verilen fonksiyon $g(x) = \frac{4x^2-16}{2x-4}$ şeklindedir. Bu tür rasyonel fonksiyonlarda, pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak genellikle işleri kolaylaştırır.

  Pay kısmını çarpanlarına ayıralım: $4x^2-16$. Bu ifadeyi $4(x^2-4)$ olarak yazabiliriz. Parantez içindeki $x^2-4$ ise iki kare farkı özdeşliğidir ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$). Dolayısıyla $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ olur.
  Yani, pay kısmı: $4(x-2)(x+2)$.

  Payda kısmını çarpanlarına ayıralım: $2x-4$. Bu ifadeyi $2(x-2)$ olarak yazabiliriz.

  Şimdi $g(x)$ fonksiyonunu yeniden yazalım:

  $g(x) = \frac{4(x-2)(x+2)}{2(x-2)}$
• Adım 2: Fonksiyonun tanım kümesini ve sadeleşmiş halini belirleyelim.

  Bir rasyonel fonksiyonda paydanın sıfır olmaması gerekir. Bu durumda $2x-4 \neq 0$ olmalıdır, yani $2x \neq 4$ ve $x \neq 2$. Bu, fonksiyonun $x=2$ noktasında tanımsız olduğu anlamına gelir.

  $x \neq 2$ olmak üzere, pay ve paydadaki $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $g(x) = \frac{4(x+2)}{2}$ $g(x) = 2(x+2)$ $g(x) = 2x+4$
• Adım 3: $g(x)$ fonksiyonunun grafiği ile $y=2x+4$ doğrusunu karşılaştıralım.

  Sadeleştirme sonucunda $g(x) = 2x+4$ denklemini elde ettik. Bu denklem, bize soruda verilen $y=2x+4$ doğrusunun denklemiyle tamamen aynıdır.

  Ancak önemli bir fark var: $g(x)$ fonksiyonu $x=2$ noktasında tanımsızdır. Bu durum, $g(x)$'in grafiğinin aslında $y=2x+4$ doğrusunun ta kendisi olduğunu, ancak $x=2$ noktasında (yani $(2, 2(2)+4) = (2, 8)$ noktasında) bir "boşluk" veya "delik" bulunduğunu gösterir.

  Yani, $g(x)$'in grafiği, $y=2x+4$ doğrusunun üzerindeki tüm noktalardan oluşur, sadece $(2,8)$ noktası hariç.

• Adım 4: Dik uzaklığı belirleyelim.

  Bir doğru ile kendisinin (bir nokta hariç) aynı olan bir grafik arasındaki dik uzaklık nedir? Eğer iki şekil üst üste çakışıyorsa, aralarındaki uzaklık sıfırdır.

  $g(x)$ fonksiyonunun grafiği, $y=2x+4$ doğrusunun üzerinde yer alan bir grafiktir. Sadece tek bir noktada (bir delik) farklılık gösterir. Bir noktadaki tanımsızlık, grafiğin geri kalanının doğru üzerinde olmasını değiştirmez.

  Bu nedenle, $g(x)$ fonksiyonunun grafiği ile $y=2x+4$ doğrusu arasındaki dik uzaklık, bu iki grafik birbirinin üzerinde çakıştığı için 0 birimdir.

Cevap A seçeneğidir.