Dar açılı üçgende diklik merkezi Test 2

ABC dar açılı üçgeninde diklik merkezi H'dir. m(∠BAC) = 60° ve m(∠ABC) = 70° olduğuna göre m(∠BHC) kaç derecedir?

A) 110
B) 120
C) 130
D) 140

Bu soruda, bir dar açılı üçgende diklik merkezi ve açılar arasındaki ilişkiyi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  ABC bir dar açılı üçgen. Bu bilgi, diklik merkezinin üçgenin içinde olduğunu gösterir.

  H, üçgenin diklik merkezidir. Diklik merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır.

  $m(\angle BAC) = 60^\circ$.

  $m(\angle ABC) = 70^\circ$.

  Bizden $m(\angle BHC)$ açısını bulmamız isteniyor.

• 2. Diklik Merkezi ve Açılar Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım/Türetelim:

  Bir üçgende diklik merkezi ile tepe açısı arasında özel bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi adım adım gösterelim:

  B köşesinden AC kenarına inen yüksekliğin ayağına E diyelim ($BE \perp AC$). Bu durumda $m(\angle AEH) = 90^\circ$ olur.

  C köşesinden AB kenarına inen yüksekliğin ayağına F diyelim ($CF \perp AB$). Bu durumda $m(\angle AFH) = 90^\circ$ olur.

  H noktası, BE ve CF yüksekliklerinin kesişim noktasıdır.

  Şimdi AFHE dörtgenine bakalım:

  Bir dörtgenin iç açılarının toplamı $360^\circ$'dir. O halde, $m(\angle FAE) + m(\angle AFH) + m(\angle FHE) + m(\angle HEA) = 360^\circ$ eşitliğini yazabiliriz.

  Açıları yerine yazarsak: $m(\angle BAC) + 90^\circ + m(\angle FHE) + 90^\circ = 360^\circ$.

  Bu denklemi düzenlersek: $m(\angle BAC) + m(\angle FHE) + 180^\circ = 360^\circ$.

  Buradan $m(\angle BAC) + m(\angle FHE) = 180^\circ$ sonucunu elde ederiz.

  $\angle FHE$ ve $\angle BHC$ açıları ters açılardır (köşeleri H noktasında kesişen iki doğru parçasının oluşturduğu açılar). Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir, yani $m(\angle FHE) = m(\angle BHC)$.

  Bu durumda, $m(\angle BAC) + m(\angle BHC) = 180^\circ$ veya $m(\angle BHC) = 180^\circ - m(\angle BAC)$ bağıntısını buluruz.

• 3. Hesaplamayı Yapalım:

  Yukarıda türettiğimiz bağıntıyı kullanalım: $m(\angle BHC) = 180^\circ - m(\angle BAC)$.

  Soruda verilen $m(\angle BAC) = 60^\circ$ değerini yerine yazalım.

  $m(\angle BHC) = 180^\circ - 60^\circ$.

  $m(\angle BHC) = 120^\circ$.

Bu çözümde $m(\angle ABC) = 70^\circ$ bilgisini doğrudan kullanmamıza gerek kalmadı, çünkü diklik merkezinin oluşturduğu açı ile tepe açısı arasındaki genel bir ilişkiyi kullandık. Bu bilgi, üçgenin dar açılı olduğunu ve dolayısıyla diklik merkezinin üçgenin içinde yer aldığını doğrulamak için dolaylı olarak önemlidir.

Cevap B seçeneğidir.