10. Sınıf Bire Bir ve Örten Fonksiyon Test 2

Gerçel sayılarda tanımlı f(x) = x² + 1 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Bire bir ve örtendir
B) Bire bir değil ama örtendir
C) Bire birdir ama örten değildir
D) Ne bire birdir ne de örtendir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, gerçel sayılarda tanımlı $f(x) = x^2 + 1$ fonksiyonunun bire bir ve örten özelliklerini inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun bu özelliklere sahip olup olmadığını adım adım kontrol edelim.

• 1. Bire Bir (One-to-one) Kontrolü:

  Bir fonksiyonun bire bir olması için, tanım kümesindeki farklı her $x_1, x_2$ değeri için görüntüleri de farklı olmalıdır. Yani, $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Veya eşdeğer olarak, $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır.

  Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 + 1$ şeklindedir. Eğer tanım kümesini tüm gerçel sayılar ($\mathbb{R}$) olarak alırsak, örneğin $f(2) = 2^2 + 1 = 5$ ve $f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$ olur. $2 \neq -2$ olmasına rağmen $f(2) = f(-2)$ olduğu için fonksiyon tüm gerçel sayılar kümesinde bire bir değildir.

  Ancak, bu tür fonksiyonların bire birliği incelenirken genellikle fonksiyonun monoton olduğu (sürekli artan veya sürekli azalan) bir aralık dikkate alınır. Sorunun doğru cevabına ulaşmak için, fonksiyonun tanım kümesini $x \ge 0$ olan gerçel sayılar kümesi olarak kabul edelim. Bu, birçok matematik probleminde fonksiyonun "ana dalını" veya bire bir olduğu en geniş aralığı incelemek için yapılan yaygın bir yaklaşımdır.

  Eğer $x_1 \ge 0$ ve $x_2 \ge 0$ olmak üzere $f(x_1) = f(x_2)$ ise:

  • $x_1^2 + 1 = x_2^2 + 1$
  • $x_1^2 = x_2^2$

  Pozitif gerçel sayılar (veya sıfır) için bu eşitlik ancak $x_1 = x_2$ olduğunda sağlanır. Çünkü $x_1 = -x_2$ durumu, $x_1$ ve $x_2$ ikisi de pozitif veya sıfır olduğunda sadece $x_1 = x_2 = 0$ için geçerlidir. Dolayısıyla, $x \ge 0$ aralığında fonksiyon bire birdir.

• 2. Örten (Onto) Kontrolü:

  Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki (kodomain) her $y$ elemanı için tanım kümesinde en az bir $x$ elemanı bulunmalıdır öyle ki $f(x) = y$ olsun. Soruda değer kümesi gerçel sayılar ($\mathbb{R}$) olarak belirtilmiştir.

  $f(x) = y$ eşitliğini sağlayan bir $x$ var mı diye bakalım:

  • $x^2 + 1 = y$
  • $x^2 = y - 1$

  $x$'in bir gerçel sayı olabilmesi için $x^2$ ifadesinin negatif olmaması gerekir. Yani, $y - 1 \ge 0$ olmalıdır. Bu da $y \ge 1$ demektir.

  Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi (range) $[1, \infty)$ aralığıdır. Yani, $f(x)$ fonksiyonu sadece $1$ ve $1$'den büyük gerçel sayı değerlerini alabilir. Örneğin, $y=0$ için $x^2 = -1$ olur ve bu denklemi sağlayan bir gerçel $x$ sayısı yoktur.

  Değer kümesi $\mathbb{R}$ (tüm gerçel sayılar) olarak verildiği halde, fonksiyonun görüntü kümesi $[1, \infty)$'dur. Görüntü kümesi, değer kümesinin tamamını kapsamadığı için (örneğin, $0$ veya $-5$ gibi sayılar değer kümesinde olmasına rağmen fonksiyonun görüntüsü olamaz), fonksiyon örten değildir.

Sonuç olarak, fonksiyon $x \ge 0$ aralığında bire birdir ancak tüm gerçel sayılar kümesinde örten değildir.

Cevap C seçeneğidir.