f(x) = 3x - 7 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f⁻¹(5) değeri kaçtır?
A) 2Bugün, bir fonksiyonun tersinin belirli bir noktadaki değerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = 3x - 7$ ve bizden $f^{-1}(5)$ değerini bulmamız isteniyor.
Bu tür soruları çözmek için iki farklı yöntem kullanabiliriz. Her iki yöntemi de açıklayacağım ki konuyu tam olarak kavrayabilesiniz.
Yöntem 1: Önce Ters Fonksiyonu Bulma
İlk adım olarak, verilen $f(x)$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonunu bulmalıyız. Bir fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleriz:
Fonksiyonu $y = f(x)$ şeklinde yazın: $y = 3x - 7$.
$x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirin: $x = 3y - 7$.
Şimdi bu denklemi $y$ için çözelim. Amacımız $y$'yi yalnız bırakmaktır:
$-7$'yi denklemin diğer tarafına atın: $x + 7 = 3y$.
Her iki tarafı $3$'e bölün: $y = \frac{x+7}{3}$.
Böylece, ters fonksiyonumuzu bulmuş olduk: $f^{-1}(x) = \frac{x+7}{3}$.
Şimdi bizden $f^{-1}(5)$ değeri istendiği için, bulduğumuz $f^{-1}(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $5$ yazalım:
$f^{-1}(5) = \frac{5+7}{3}$
$f^{-1}(5) = \frac{12}{3}$
$f^{-1}(5) = 4$
Yöntem 2: Ters Fonksiyon Tanımını Doğrudan Kullanma
Bu yöntem, ters fonksiyonu bulmaya gerek kalmadan doğrudan sonuca ulaşmamızı sağlar. Ters fonksiyonun temel tanımını hatırlayalım: Eğer $f(a) = b$ ise, o zaman $f^{-1}(b) = a$ olur. Bizden $f^{-1}(5)$ değeri istendiği için, bu değeri bir $k$ sayısına eşitleyelim:
Diyelim ki $f^{-1}(5) = k$.
Ters fonksiyon tanımına göre, bu ifade $f(k) = 5$ anlamına gelir.
Şimdi, orijinal fonksiyonumuz $f(x) = 3x - 7$ olduğu için, $f(k)$ ifadesini $k$ cinsinden yazalım: $f(k) = 3k - 7$.
Bu ifadeyi $5$'e eşitleyelim ve $k$ değerini bulalım:
$3k - 7 = 5$
$-7$'yi denklemin diğer tarafına atın: $3k = 5 + 7$
$3k = 12$
Her iki tarafı $3$'e bölün: $k = \frac{12}{3}$
$k = 4$
Böylece, $f^{-1}(5) = 4$ sonucunu bulmuş oluruz.
Her iki yöntem de bize aynı sonucu verdi: $f^{-1}(5) = 4$.
Cevap B seçeneğidir.
