Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x² + 4x + 3 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun tersinin olabilmesi için hangi aralıkta tanımlanması gerekir?
A) (-∞, ∞)
B) [-2, ∞)
C) (-∞, -2]
D) [0, ∞)
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, o fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta birebir (one-to-one) ve örten (onto) olması gerekir. Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar için birebir olmak, fonksiyonun yatay doğru testini geçmesi anlamına gelir. Yani, yatay bir doğru fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesmemelidir.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 + 4x + 3$ bir parabol denklemidir. Genel olarak, paraboller tüm tanım kümelerinde birebir değildirler çünkü tepe noktasından sonra yön değiştirirler.
Fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesini parabolün tepe noktasının bir tarafıyla sınırlamamız gerekir. Bu sayede fonksiyon ya sürekli artan ya da sürekli azalan olur.
Öncelikle, parabolün tepe noktasının $x$-koordinatını bulalım. Genel bir kuadratik fonksiyon $ax^2 + bx + c$ için tepe noktasının $x$-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
Bizim fonksiyonumuzda $f(x) = x^2 + 4x + 3$ olduğundan, $a=1$ ve $b=4$'tür.
Parabolün baş katsayısı ($x^2$'nin katsayısı) $a=1$ pozitif olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda, tepe noktası parabolün en düşük noktasıdır.
Fonksiyon, $x = -2$ noktasına kadar azalır ve $x = -2$ noktasından sonra artmaya başlar.
Fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesini ya tepe noktasından başlayarak artan olduğu aralıkta ($[-2, \infty)$) ya da tepe noktasına kadar azalan olduğu aralıkta ($( -\infty, -2]$) seçmeliyiz.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) $(-\infty, \infty)$: Bu aralıkta fonksiyon birebir değildir çünkü tepe noktasından önce azalır, sonra artar.
B) $[-2, \infty)$: Bu aralıkta fonksiyon sürekli artandır ve dolayısıyla birebirdir. Bu aralıkta fonksiyonun tersi vardır.
C) $(-\infty, -2]$: Bu aralıkta fonksiyon sürekli azalandır ve dolayısıyla birebirdir. Bu aralıkta da fonksiyonun tersi vardır.
D) $[0, \infty)$: Bu aralık da fonksiyonun birebir olduğu bir aralıktır, ancak tepe noktasından başlayan en geniş aralıklardan biri değildir.
Soru, fonksiyonun tersinin olabilmesi için hangi aralıkta tanımlanması gerektiğini sorduğundan, tepe noktasından başlayarak fonksiyonun monoton olduğu aralıklardan birini seçmeliyiz. Seçeneklerde bu aralıklardan biri olan $[-2, \infty)$ bulunmaktadır.
