Bir bakteri populasyonunun sayısı her saat başı iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, 6 saat sonraki bakteri sayısının logaritmik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) log(100) + log(2)Sevgili öğrenciler, bu tür bir problemde bakteri popülasyonunun büyümesini ve ardından logaritma özelliklerini kullanarak ifade etmeyi öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Başlangıçta 100 bakteri olduğunu biliyoruz. Her saat başı bakteri sayısı iki katına çıkıyor. Bu bir üstel büyüme modelidir.
Başlangıçta (0. saat): $100$ bakteri
1. saat sonunda: $100 \times 2^1$ bakteri
2. saat sonunda: $100 \times 2^2$ bakteri
3. saat sonunda: $100 \times 2^3$ bakteri
Bu örüntüye göre, $t$ saat sonraki bakteri sayısı $100 \times 2^t$ formülüyle bulunur.
Soru bizden 6 saat sonraki bakteri sayısını bulmamızı istiyor. Yukarıdaki formülde $t=6$ yazarsak:
6 saat sonraki bakteri sayısı $= 100 \times 2^6$
Şimdi bu sayının logaritmik ifadesini bulmamız gerekiyor. Logaritmanın temel özelliklerini hatırlayalım:
Çarpımın logaritması: $\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$
Üslü ifadenin logaritması: $\log(a^b) = b \times \log(a)$
6 saat sonraki bakteri sayısı $100 \times 2^6$ olduğuna göre, bunun logaritmasını alalım:
$\log(100 \times 2^6)$
Önce çarpımın logaritması özelliğini kullanalım:
$\log(100 \times 2^6) = \log(100) + \log(2^6)$
Şimdi de üslü ifadenin logaritması özelliğini $\log(2^6)$ ifadesine uygulayalım:
$\log(2^6) = 6 \times \log(2)$
Bu iki ifadeyi birleştirirsek, 6 saat sonraki bakteri sayısının logaritmik ifadesi şu şekilde olur:
$\log(100) + 6\log(2)$
Bulduğumuz ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $\log(100) + \log(2)$
B) $\log(100) + 6\log(2)$
C) $6\log(100) + \log(2)$
D) $\log(100) \times \log(2)$
Görüldüğü gibi, bulduğumuz ifade B seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
