Üslü sayılarda toplama nasıl yapılır Test 2

\( 2^{x-1} + 2^{x-1} = 32 \) olduğuna göre, x kaçtır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

Bu soruda üslü ifadelerle ilgili temel bilgimizi kullanarak bir denklemi çözeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Denklemi inceleyelim ve sol tarafı sadeleştirelim.
• Denklemimiz $ 2^{x-1} + 2^{x-1} = 32 $ şeklindedir.
• Sol tarafta aynı ifadeyi iki kez topladığımızı görüyoruz: $ 2^{x-1} $.
• Bu durumu, "bir elma artı bir elma eşittir iki elma" mantığıyla düşünebiliriz. Yani, $ 2^{x-1} + 2^{x-1} $ ifadesini $ 2 \cdot 2^{x-1} $ olarak yazabiliriz.
• Şimdi denklemimiz $ 2 \cdot 2^{x-1} = 32 $ haline geldi.
• Adım 2: Üslü sayılar kuralını uygulayarak sol tarafı daha da sadeleştirelim.
• Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: Tabanlar aynıysa, üsler toplanır. Yani $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
• Burada $ 2 $ ifadesini $ 2^1 $ olarak düşünebiliriz.
• O halde, $ 2^1 \cdot 2^{x-1} $ ifadesi $ 2^{1 + (x-1)} $ olarak yazılır.
• Üsleri toplarsak: $ 1 + x - 1 = x $.
• Böylece denklemin sol tarafı $ 2^x $ haline gelir.
• Denklemimiz şimdi $ 2^x = 32 $ şeklindedir.
• Adım 3: Denklemin sağ tarafını aynı tabanda üslü ifade olarak yazalım.
• Amacımız, denklemin her iki tarafını da aynı tabanın kuvveti olarak yazmak. Sağ taraftaki $ 32 $ sayısını $ 2 $ tabanında bir üslü ifade olarak yazmalıyız.
• $ 2^1 = 2 $
• $ 2^2 = 4 $
• $ 2^3 = 8 $
• $ 2^4 = 16 $
• $ 2^5 = 32 $
• Yani, $ 32 $ sayısı $ 2^5 $ olarak yazılabilir.
• Denklemimiz $ 2^x = 2^5 $ haline geldi.
• Adım 4: Üsleri eşitleyerek x değerini bulalım.
• Eğer bir denklemin her iki tarafındaki tabanlar aynıysa (burada ikisi de $ 2 $), o zaman üsler de birbirine eşit olmak zorundadır.
• Bu durumda, $ x = 5 $ sonucuna ulaşırız.

Cevap C seçeneğidir.