6. sınıf matematik mutlak değer test çöz Test 2

|x+3| + |x-2| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 0
B) 3
C) 5
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bugün, mutlak değer içeren bir ifadenin alabileceği en küçük değeri bulma sorusunu adım adım çözeceğiz. Bu tür soruları çözerken mutlak değerin tanımını ve sayı doğrusu üzerindeki anlamını iyi kavramak çok önemlidir.

• Adım 1: Mutlak Değerin Anlamını Hatırlayalım

  Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $|5|=5$ ve $|-5|=5$'tir. Daha genel olarak, $|a-b|$ ifadesi, $a$ ve $b$ sayılarının sayı doğrusu üzerindeki uzaklığını gösterir.

  Şimdi sorudaki ifadeyi inceleyelim: $|x+3| + |x-2|$.

  • $|x+3|$ ifadesini $|x - (-3)|$ şeklinde yazabiliriz. Bu, $x$ sayısının sayı doğrusu üzerindeki $-3$ noktasına olan uzaklığı demektir.
  • $|x-2|$ ifadesi ise $x$ sayısının sayı doğrusu üzerindeki $2$ noktasına olan uzaklığı demektir.

  Yani bizden istenen, sayı doğrusu üzerindeki bir $x$ noktasının, $-3$ noktasına olan uzaklığı ile $2$ noktasına olan uzaklığının toplamının en küçük değeri kaçtır?

• Adım 2: Sayı Doğrusu Üzerinde Durumu İnceleyelim

  Sayı doğrusu üzerinde $-3$ ve $2$ noktalarını işaretleyelim. Şimdi $x$ noktasının konumuna göre uzaklıkların toplamını inceleyelim:

  • Durum 1: $x$ noktası $-3$ ile $2$ arasında ise (yani $-3 \le x \le 2$)

    Eğer $x$ noktası bu aralıkta bir yerdeyse, $x$'in $-3$'e olan uzaklığı ile $x$'in $2$'ye olan uzaklığının toplamı, tam olarak $-3$ ile $2$ noktaları arasındaki uzaklığa eşit olacaktır. Çünkü $x$ bu iki noktanın arasında olduğunda, $x$'ten $-3$'e kadar olan mesafe ile $x$'ten $2$'ye kadar olan mesafeyi topladığımızda, doğrudan $-3$'ten $2$'ye kadar olan toplam mesafeyi elde ederiz.

    Bu uzaklık ise $2 - (-3) = 2+3 = 5$'tir.

    Örnekler:

    • Eğer $x=0$ ise: $|0+3| + |0-2| = |3| + |-2| = 3+2=5$.
    • Eğer $x=-3$ ise: $|-3+3| + |-3-2| = |0| + |-5| = 0+5=5$.
    • Eğer $x=2$ ise: $|2+3| + |2-2| = |5| + |0| = 5+0=5$.

    Görüldüğü gibi, $x$ bu aralıkta olduğunda toplam uzaklık her zaman $5$ oluyor.

  • Durum 2: $x$ noktası $-3$'ün solunda ise (yani $x < -3$)

    Örneğin, $x=-4$ olsun. $|-4+3| + |-4-2| = |-1| + |-6| = 1+6=7$.

    Bu durumda, $x$ noktası $-3$ ve $2$ noktalarının dışındadır. $x$ noktası $-3$'ün solunda olduğundan, $-3$'e olan uzaklığı $0$'dan büyüktür ve $2$'ye olan uzaklığı da $-3$'e olan uzaklığından daha büyüktür. Toplam uzaklık, $-3$ ile $2$ arasındaki uzaklıktan ($5$'ten) daha büyük olacaktır.

  • Durum 3: $x$ noktası $2$'nin sağında ise (yani $x > 2$)

    Örneğin, $x=3$ olsun. $|3+3| + |3-2| = |6| + |1| = 6+1=7$.

    Bu durumda da $x$ noktası $-3$ ve $2$ noktalarının dışındadır. Toplam uzaklık, yine $-3$ ile $2$ arasındaki uzaklıktan ($5$'ten) daha büyük olacaktır.

• Adım 3: En Küçük Değeri Belirleyelim

  Yukarıdaki incelemelerimizden anlaşıldığı üzere:

  • $x$ noktası $-3$ ile $2$ arasında olduğunda, ifadenin değeri sabittir ve $5$'e eşittir.
  • $x$ noktası bu aralığın dışında olduğunda ise, ifadenin değeri $5$'ten daha büyük değerler almaktadır.

  Bu nedenle, $|x+3| + |x-2|$ ifadesinin alabileceği en küçük değer, $-3$ ile $2$ noktaları arasındaki uzaklık olan $5$'tir.

Cevap C seçeneğidir.