\( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{3, 4, 5, 6\} \) ve evrensel küme \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) olarak veriliyor. Buna göre \( (A \cup B)^c \) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( A^c \cap B^c \)
B) \( A^c \cup B^c \)
C) \( A \cap B \)
D) \( E \)
Bu soruda, kümelerle ilgili temel işlemleri ve De Morgan Kurallarını kullanarak bir kümenin tümleyenini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Önce $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimini ($A \cup B$) bulalım.
- Birleşim kümesi, her iki kümede bulunan tüm elemanları içerir. Tekrar eden elemanları bir kez yazarız.
- Verilen kümeler: $ A = \{1, 2, 3, 4\} $ ve $ B = \{3, 4, 5, 6\} $.
- Bu iki kümenin birleşimi: $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.
- Adım 2: Şimdi $ (A \cup B)^c $ kümesini bulalım.
- Bir kümenin tümleyeni ($X^c$), evrensel küme ($E$) içinde olup o kümede ($X$) olmayan elemanlardan oluşur.
- Evrensel kümemiz $ E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $.
- $ (A \cup B)^c $ kümesini bulmak için evrensel kümeden $ A \cup B $ kümesini çıkarırız: $ (A \cup B)^c = E \setminus (A \cup B) $.
- $ (A \cup B)^c = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.
- Bu çıkarma işlemini yaptığımızda, $ (A \cup B)^c = \{7\} $ sonucunu elde ederiz.
- Adım 3: Seçenekleri kontrol edelim.
- Soruda bizden $ (A \cup B)^c $ kümesinin hangi seçeneğe eşit olduğunu bulmamız isteniyor. Bulduğumuz sonuç $ \{7\} $. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim.
- Seçenek A: $ A^c \cap B^c $
- Önce $ A^c $ ve $ B^c $ kümelerini bulalım.
- $ A^c = E \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \{5, 6, 7\} $.
- $ B^c = E \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 7\} $.
- Şimdi bu iki kümenin kesişimini ($ A^c \cap B^c $) bulalım. Kesişim, her iki kümede ortak olan elemanlardır.
- $ A^c \cap B^c = \{5, 6, 7\} \cap \{1, 2, 7\} = \{7\} $.
- Gördüğümüz gibi, $ (A \cup B)^c $ kümesi ile $ A^c \cap B^c $ kümesi aynıdır ($ \{7\} $). Bu durum, kümeler teorisindeki De Morgan Kurallarından biridir: $ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $.
- Seçenek B: $ A^c \cup B^c $
- $ A^c \cup B^c = \{5, 6, 7\} \cup \{1, 2, 7\} = \{1, 2, 5, 6, 7\} $.
- Bu küme $ \{7\} $ değildir.
- Seçenek C: $ A \cap B $
- $ A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4\} $.
- Bu küme $ \{7\} $ değildir.
- Seçenek D: $ E $
- $ E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $.
- Bu küme $ \{7\} $ değildir.
Yapılan incelemeler sonucunda, $ (A \cup B)^c $ kümesinin $ A^c \cap B^c $ kümesine eşit olduğu görülmüştür.
Cevap A seçeneğidir.
