10. Sınıf Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma Test 2

Bir x sayısının 4'e bölümünden kalan 1, 6'ya bölümünden kalan 3'tür. Buna göre x sayısının 12'ye bölümünden kalan kaçtır?

A) 3
B) 5
C) 7
D) 9

Merhaba arkadaşlar, bu güzel soruyu adım adım birlikte çözelim. Unutmayın, matematik birlikte çözüldüğünde daha keyifli!

• Adım 1: Verilenleri Anlama

Soruda bize iki önemli bilgi verilmiş:

• $x$ sayısının 4'e bölümünden kalan 1'dir. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $x \equiv 1 \pmod{4}$
• $x$ sayısının 6'ya bölümünden kalan 3'tür. Bunu da şöyle ifade edebiliriz: $x \equiv 3 \pmod{6}$

Amacımız, $x$'in 12'ye bölümünden kalanı bulmak, yani $x \equiv ? \pmod{12}$ ifadesindeki soru işaretini çözmek.

• Adım 2: Denklemleri İnceleme ve Çözüm İçin İpuçları Arama

İlk denklemden ($x \equiv 1 \pmod{4}$), $x$ sayısının $4k + 1$ şeklinde bir sayı olduğunu anlarız (burada $k$ bir tam sayıdır). Yani $x$, 4'ün katından 1 fazla.

İkinci denklemden ($x \equiv 3 \pmod{6}$), $x$ sayısının $6m + 3$ şeklinde bir sayı olduğunu anlarız (burada $m$ bir tam sayıdır). Yani $x$, 6'nın katından 3 fazla.

• Adım 3: Sayıları Birleştirme ve Ortak Çözüm Bulma

Şimdi $4k + 1$ ve $6m + 3$ ifadelerini eşitlemeye çalışalım:

$4k + 1 = 6m + 3$

Bu denklemi düzenlersek:

$4k = 6m + 2$

Her iki tarafı 2'ye bölelim:

$2k = 3m + 1$

Buradan $2k - 3m = 1$ denklemini elde ederiz. Bu denklemi sağlayan en küçük $k$ ve $m$ değerlerini bulmaya çalışalım. $m = 1$ için $k = 2$ olur. Yani $k=2$ ve $m=1$ bu denklemi sağlar.

• Adım 4: x Sayısını Bulma ve 12'ye Bölümünden Kalanı Hesaplama

$k = 2$ için $x = 4k + 1 = 4(2) + 1 = 9$ olur.

$m = 1$ için $x = 6m + 3 = 6(1) + 3 = 9$ olur.

Gördüğümüz gibi, her iki denklemden de $x = 9$ sonucunu elde ettik.

Şimdi $x = 9$'un 12'ye bölümünden kalanı bulalım. $9$'u 12'ye böldüğümüzde kalan 9'dur.

Yani, $x \equiv 9 \pmod{12}$

Cevap D seçeneğidir.