Bu soruyu çözmek için öncelikle "aralarında asal sayılar" kavramını hatırlamalı ve ardından $a \times b = 36$ eşitliğini sağlayan tüm $(a, b)$ ikililerini bulup, bu ikililerden hangilerinin aralarında asal olduğunu kontrol etmeliyiz.
- Adım 1: "Aralarında Asal Sayılar" Kavramını Hatırlayalım
- İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılara "aralarında asal sayılar" denir. Yani, en büyük ortak bölenleri (EBOB) 1 olmalıdır. Örneğin, 3 ve 5 aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir. Ancak 4 ve 6 aralarında asal değildir çünkü ortak bölenleri 1'in yanı sıra 2 de vardır.
- Adım 2: $a \times b = 36$ Eşitliğini Sağlayan Tüm Pozitif Tam Sayı İkililerini Bulalım
- $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, çarpımları 36 olan tüm ikilileri listeleyelim:
- $(1, 36)$
- $(2, 18)$
- $(3, 12)$
- $(4, 9)$
- $(6, 6)$
- $(9, 4)$
- $(12, 3)$
- $(18, 2)$
- $(36, 1)$
- Adım 3: Bulduğumuz İkililerden Hangilerinin Aralarında Asal Olduğunu Kontrol Edelim
- Şimdi yukarıdaki ikililerin her birindeki sayıların aralarında asal olup olmadığını inceleyelim:
- $(1, 36)$ ikilisi: 1 ve 36 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. ($EBOB(1, 36) = 1$). Bu ikili aralarında asaldır. (GEÇERLİ)
- $(2, 18)$ ikilisi: 2 ve 18 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 2'dir. ($EBOB(2, 18) = 2$). Aralarında asal değildir.
- $(3, 12)$ ikilisi: 3 ve 12 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 3'tür. ($EBOB(3, 12) = 3$). Aralarında asal değildir.
- $(4, 9)$ ikilisi: 4'ün bölenleri $\{1, 2, 4\}$ ve 9'un bölenleri $\{1, 3, 9\}$'dur. Ortak bölenleri sadece 1'dir. ($EBOB(4, 9) = 1$). Bu ikili aralarında asaldır. (GEÇERLİ)
- $(6, 6)$ ikilisi: 6 ve 6 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3, 6'dır. ($EBOB(6, 6) = 6$). Aralarında asal değildir.
- $(9, 4)$ ikilisi: 9 ve 4 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. ($EBOB(9, 4) = 1$). Bu ikili aralarında asaldır. (GEÇERLİ)
- $(12, 3)$ ikilisi: 12 ve 3 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 3'tür. ($EBOB(12, 3) = 3$). Aralarında asal değildir.
- $(18, 2)$ ikilisi: 18 ve 2 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 2'dir. ($EBOB(18, 2) = 2$). Aralarında asal değildir.
- $(36, 1)$ ikilisi: 36 ve 1 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. ($EBOB(36, 1) = 1$). Bu ikili aralarında asaldır. (GEÇERLİ)
- Adım 4: Geçerli İkili Sayısını Belirleyelim
- Yukarıdaki kontroller sonucunda, $a \times b = 36$ eşitliğini sağlayan ve $a$ ile $b$'nin aralarında asal olduğu ikililer şunlardır:
- $(1, 36)$
- $(4, 9)$
- $(9, 4)$
- $(36, 1)$
Toplamda 4 farklı $(a, b)$ ikilisi bulunmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
