\(P(x) = x^3 - 2x + 1\) ve \(Q(x) = \frac{1}{x} + 3\) ifadeleri veriliyor. Bu ifadelerle ilgili aşağıdaki yorumlardan hangisi doğrudur?
A) Her ikisi de polinomdur
B) Yalnız P(x) polinomdur
C) Yalnız Q(x) polinomdur
D) Her ikisi de polinom değildir
Polinom kavramını anlamak için öncelikle tanımını hatırlayalım:
- Bir ifadeye polinom diyebilmemiz için, değişkenin (burada $x$) tüm kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olması ve katsayılarının birer gerçek sayı olması gerekir.
- Şimdi verilen ifadeleri bu tanıma göre tek tek inceleyelim.
1. $P(x) = x^3 - 2x + 1$ ifadesini inceleyelim:
- Bu ifadede üç terim bulunmaktadır: $x^3$, $-2x$ ve $1$.
- İlk terim $x^3$'teki $x$'in kuvveti $3$'tür. $3$ bir doğal sayıdır.
- İkinci terim $-2x$'teki $x$'in kuvveti $1$'dir (çünkü $x = x^1$). $1$ bir doğal sayıdır.
- Üçüncü terim $1$ bir sabittir. Sabit terimler, $x^0$ şeklinde düşünülebilir (çünkü $x^0 = 1$). Dolayısıyla $x$'in kuvveti $0$'dır. $0$ bir doğal sayıdır.
- Görüldüğü gibi, $P(x)$ ifadesindeki tüm $x$ terimlerinin kuvvetleri doğal sayıdır ($3, 1, 0$). Ayrıca katsayılar ($1, -2, 1$) gerçek sayılardır.
- Bu nedenle, $P(x)$ bir polinomdur.
2. $Q(x) = \frac{1}{x} + 3$ ifadesini inceleyelim:
- Bu ifadede iki terim bulunmaktadır: $\frac{1}{x}$ ve $3$.
- İlk terim $\frac{1}{x}$'i üslü ifade olarak yazarsak, $x^{-1}$ şeklinde olur.
- Buradaki $x$'in kuvveti $-1$'dir.
- $-1$ bir doğal sayı değildir (çünkü doğal sayılar $0, 1, 2, \dots$ şeklinde pozitif tam sayılar ve sıfırdan oluşur).
- Polinom tanımına göre, değişkenin kuvvetleri doğal sayı olmak zorundadır. $Q(x)$ ifadesinde bu kurala uymayan bir terim ($x^{-1}$) olduğu için, $Q(x)$ bir polinom değildir.
Sonuç:
- $P(x)$ bir polinomdur.
- $Q(x)$ bir polinom değildir.
- Bu durumda, "Yalnız P(x) polinomdur" ifadesi doğru olmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
