Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, olasılık kavramını ve verilen bilgileri dikkatlice yorumlamayı gerektiren güzel bir sorudur. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Değişkenleri Tanımlayalım.
- Torbadaki kırmızı bilye sayısına $K$ diyelim.
- Torbadaki mavi bilye sayısına $M$ diyelim.
- Torbadaki toplam bilye sayısına $T$ diyelim.
- Soruda eşit sayıda kırmızı ve mavi bilye olduğu belirtiliyor. Bu, $K = M$ anlamına gelir.
- Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin kırmızı olma olasılığı $P(\text{Kırmızı}) = rac{2}{5}$ olarak verilmiş.
- Adım 2: Olasılık Formülünü Kullanarak Denklemi Kuralım.
- Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır. Yani, kırmızı bilye çekme olasılığı: $P(\text{Kırmızı}) = rac{\text{Kırmızı Bilye Sayısı}}{\text{Toplam Bilye Sayısı}}$.
- Verilen bilgilere göre bu denklemi yazarsak: $ rac{K}{T} = rac{2}{5}$.
- Adım 3: Çelişkiyi Giderelim ve Diğer Bilyeleri Düşünelim.
- Eğer torbada sadece kırmızı ve mavi bilyeler olsaydı, toplam bilye sayısı $T = K + M$ olurdu.
- $K=M$ olduğu için $T = K + K = 2K$ olurdu.
- Bu durumda kırmızı bilye çekme olasılığı $P(\text{Kırmızı}) = rac{K}{2K} = rac{1}{2}$ olurdu.
- Ancak soruda bu olasılık $ rac{2}{5}$ olarak verilmiş. $ rac{1}{2}$ ile $ rac{2}{5}$ birbirine eşit değildir ($0.5 \neq 0.4$). Bu bir çelişkidir!
- Bu çelişkiyi gidermenin tek yolu, torbada kırmızı ve mavi bilyelerin dışında başka renk bilyelerin de olması gerektiğini düşünmektir. Bu "diğer" bilyelerin sayısına $O$ diyelim.
- O zaman toplam bilye sayısı $T = K + M + O$ şeklinde ifade edilir.
- Adım 4: Değişkenleri Ortak Bir Katsayı Cinsinden İfade Edelim.
- $ rac{K}{T} = rac{2}{5}$ eşitliğinden, $K$ sayısının 2'nin bir katı, $T$ sayısının ise 5'in aynı katı olması gerektiğini anlarız.
- Yani, bir $x$ pozitif tam sayısı için:
- Kırmızı bilye sayısı: $K = 2x$
- Toplam bilye sayısı: $T = 5x$
- Soruda $K=M$ olduğu belirtildiği için, mavi bilye sayısı da $M = 2x$ olur.
- Şimdi bu değerleri toplam bilye sayısının formülünde yerine koyalım:
- $T = K + M + O$
- $5x = 2x + 2x + O$
- $5x = 4x + O$
- Buradan $O = x$ sonucunu buluruz. Yani, diğer bilyelerin sayısı $x$ kadardır.
- Adım 5: Toplam Bilye Sayısını Bulalım.
- Torbadaki bilye dağılımı şu şekildedir:
- Kırmızı bilye sayısı: $2x$
- Mavi bilye sayısı: $2x$
- Diğer bilye sayısı: $x$
- Toplam bilye sayısı: $T = 5x$
- Bilye sayıları pozitif tam sayı olacağı için $x$ de bir pozitif tam sayı ($x \ge 1$) olmalıdır.
- Şıklara baktığımızda, toplam bilye sayısı $T=5x$ olduğu için, $T$ değeri 5'in bir katı olmalıdır. Tüm şıklar (5, 10, 15, 20) 5'in katıdır.
- Soruda tek bir doğru cevap istendiği ve doğru cevabın B seçeneği olduğu belirtildiği için, $T=10$ değerini sağlayan $x$ değerini bulmalıyız.
- Eğer $T = 10$ ise, $5x = 10$ denkleminden $x = 2$ bulunur.
- Bu durumda bilye sayıları:
- Kırmızı bilye sayısı: $K = 2x = 2 \times 2 = 4$
- Mavi bilye sayısı: $M = 2x = 2 \times 2 = 4$
- Diğer bilye sayısı: $O = x = 2$
- Toplam bilye sayısı: $T = 5x = 5 \times 2 = 10$
- Bu dağılım, tüm koşulları sağlar: Kırmızı ve mavi bilye sayıları eşittir ($4=4$), kırmızı bilye çekme olasılığı $ rac{4}{10} = rac{2}{5}$'tir ve toplam bilye sayısı 10'dur.
Torbadaki toplam bilye sayısı 10'dur.
Cevap B seçeneğidir.
