Toplamın ve farkın türevi Test 2

Bir şirketin aylık geliri G(x) = 5000 + 200x ve gideri M(x) = 3000 + 150x + 0.1x² şeklindedir. Bu şirketin kar fonksiyonunun türevi K'(x) hangisidir?

A) 50 - 0.2x
B) 200 - 150 - 0.1x
C) 50 + 0.2x
D) 2000 + 50x - 0.1x²

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir şirketin gelir ve gider fonksiyonları verilmiş. Bizden kar fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.

• Adım 1: Kar Fonksiyonunu Tanımlama

Bir şirketin karı, toplam gelirinden toplam giderinin çıkarılmasıyla bulunur. Matematiksel olarak bunu şöyle ifade edebiliriz:

• Kar Fonksiyonu ($K(x)$) = Gelir Fonksiyonu ($G(x)$) - Gider Fonksiyonu ($M(x)$)
• Yani, $K(x) = G(x) - M(x)$

• Adım 2: Kar Fonksiyonunu Oluşturma

Şimdi bize verilen $G(x)$ ve $M(x)$ fonksiyonlarını kar fonksiyonu formülünde yerine yazalım:

• $G(x) = 5000 + 200x$
• $M(x) = 3000 + 150x + 0.1x^2$
• $K(x) = (5000 + 200x) - (3000 + 150x + 0.1x^2)$

• Adım 3: Kar Fonksiyonunu Sadeleştirme

Parantezleri açarken, $M(x)$ fonksiyonunun önündeki eksi işaretinin içerideki tüm terimlerin işaretini değiştireceğini unutmayalım:

• $K(x) = 5000 + 200x - 3000 - 150x - 0.1x^2$
• Şimdi benzer terimleri bir araya getirelim:
• Sabit terimler: $5000 - 3000 = 2000$
• $x$'li terimler: $200x - 150x = 50x$
• $x^2$'li terimler: $-0.1x^2$
• Böylece kar fonksiyonumuz $K(x)$ şu şekli alır:
• $K(x) = 2000 + 50x - 0.1x^2$

• Adım 4: Kar Fonksiyonunun Türevini ($K'(x)$) Alma

Bizden kar fonksiyonunun türevi olan $K'(x)$ isteniyor. Türev alma kurallarını hatırlayalım:

• Bir sabit sayının türevi $0$'dır. (Örneğin, $(c)' = 0$)
• $ax$ şeklindeki bir terimin türevi $a$'dır. (Örneğin, $(ax)' = a$)
• $ax^n$ şeklindeki bir terimin türevi $anx^{n-1}$'dir. (Örneğin, $(ax^n)' = anx^{n-1}$)

Şimdi bu kuralları $K(x) = 2000 + 50x - 0.1x^2$ fonksiyonuna uygulayalım:

• $2000$'in türevi: $0$
• $50x$'in türevi: $50$
• $-0.1x^2$'nin türevi: $-0.1 \times 2 \times x^{2-1} = -0.2x$
• Bu türevleri bir araya getirdiğimizde $K'(x)$ şu şekilde bulunur:
• $K'(x) = 0 + 50 - 0.2x$
• $K'(x) = 50 - 0.2x$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

Bulduğumuz $K'(x) = 50 - 0.2x$ sonucunu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

• A) $50 - 0.2x$
• B) $200 - 150 - 0.1x$
• C) $50 + 0.2x$
• D) $2000 + 50x - 0.1x^2$

Gördüğümüz gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.