EBOB EKOK LGS soruları Test 2

İki farklı alarm çalarından biri 45 dakikada, diğeri 60 dakikada bir çalmaktadır. Bu iki alarm aynı anda çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalarlar?

A) 120
B) 180
C) 240
D) 300

Bu problemde, iki farklı alarmın ne zaman tekrar aynı anda çalacağını bulmamız isteniyor. Bir alarm 45 dakikada bir, diğeri ise 60 dakikada bir çalıyor. İkisinin de aynı anda çaldığı bir anı bulmak için, her iki sayının da ortak katlarını düşünmemiz gerekir. Ve bizden en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalacakları sorulduğu için, bu sayıların En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) bulmalıyız.

• Adım 1: Problemi Anlamak

Birinci alarm 45, 90, 135, 180, 225... dakikalarda çalar.

İkinci alarm 60, 120, 180, 240, 300... dakikalarda çalar.

Gördüğünüz gibi, her iki alarmın da çaldığı ortak zamanlar olacaktır. Biz bu ortak zamanlardan en küçüğünü arıyoruz. Bu da bizi EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramına götürür.

• Adım 2: Sayıların Asal Çarpanlarını Bulmak

EKOK bulmanın en güvenilir yollarından biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Şimdi 45 ve 60 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

• 45 sayısının asal çarpanları: $45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1$
• 60 sayısının asal çarpanları: $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
• Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Hesaplamak

EKOK'u bulmak için, her bir asal çarpanın (2, 3 ve 5) en büyük üslü olanını alır ve çarparız. Eğer bir asal çarpan bir sayıda yoksa, üssünü $0$ olarak düşünebiliriz.

• 2 asal çarpanı için: 45'te $2^0$ (yani yok), 60'ta $2^2$ var. En büyüğü $2^2$.
• 3 asal çarpanı için: 45'te $3^2$ var, 60'ta $3^1$ var. En büyüğü $3^2$.
• 5 asal çarpanı için: 45'te $5^1$ var, 60'ta $5^1$ var. En büyüğü $5^1$.

Şimdi bu en büyük üslü asal çarpanları çarpalım:

$EKOK(45, 60) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$

$EKOK(45, 60) = 4 \times 9 \times 5$

$EKOK(45, 60) = 36 \times 5$

$EKOK(45, 60) = 180$

• Adım 4: Sonucu Yorumlamak

Bulduğumuz EKOK değeri 180'dir. Bu, iki alarmın aynı anda çaldıktan sonra en az 180 dakika sonra tekrar birlikte çalacakları anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.