Eşkenar üçgenin yüksekliğini bulmak için adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Eşkenar Üçgenin Bir Kenar Uzunluğunu Belirleme
- Eşkenar üçgenin tüm kenarları birbirine eşittir. Soruda çevrenin $30 \text{ cm}$ olduğu belirtilmiştir. Bir kenar uzunluğunu bulmak için çevreyi $3$'e böleriz:
- Kenar Uzunluğu $= \frac{\text{Çevre}}{3} = \frac{30 \text{ cm}}{3} = 10 \text{ cm}$.
- Soruda zaten bir kenarının $10 \text{ cm}$ olduğu verilmiş, bu da hesaplamamızı doğrular.
- 2. Adım: Yüksekliği Çizme ve Dik Üçgen Oluşturma
- Bir eşkenar üçgende yükseklik, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Yani, yüksekliği çizdiğimizde, üçgeni iki eş dik üçgene ayırırız. Bu dik üçgenlerden birini inceleyelim: Hipotenüs (en uzun kenar) eşkenar üçgenin bir kenarıdır, yani $10 \text{ cm}$. Dik kenarlardan biri eşkenar üçgenin tabanının yarısıdır, yani $\frac{10 \text{ cm}}{2} = 5 \text{ cm}$. Diğer dik kenar ise aradığımız yükseklik ($h$).
- 3. Adım: Pisagor Teoremini Uygulama
- Oluşan dik üçgende Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler: $a^2 + b^2 = c^2$.
- Bizim dik üçgenimizde:
- $5^2 + h^2 = 10^2$
- $25 + h^2 = 100$
- Şimdi $h^2$'yi yalnız bırakalım:
- $h^2 = 100 - 25$
- $h^2 = 75$
- 4. Adım: Yüksekliği Bulma
- $h$'yi bulmak için $75$'in karekökünü almalıyız:
- $h = \sqrt{75}$
- $\sqrt{75}$'i sadeleştirelim. $75$, $25 \times 3$ olarak yazılabilir:
- $h = \sqrt{25 \times 3}$
- $h = \sqrt{25} \times \sqrt{3}$
- $h = 5\sqrt{3} \text{ cm}$
- Ek Bilgi (30-60-90 Üçgeni Özelliği ile Çözüm):
- Eşkenar üçgenin yüksekliği, üçgeni iki adet $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ özel dik üçgenine ayırır. Bu özel üçgende $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $x$ ise, $90^\circ$'nin karşısındaki kenar $2x$ ve $60^\circ$'nin karşısındaki kenar $x\sqrt{3}$ olur. Bizim üçgenimizde $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $5 \text{ cm}$'dir (tabanın yarısı). Bu durumda $x=5 \text{ cm}$ olur. $60^\circ$'nin karşısındaki kenar (yükseklik) ise $x\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$ olarak bulunur. Bu da aynı sonucu verir ve daha hızlı bir yöntemdir.
Buna göre, eşkenar üçgenin yüksekliği $5\sqrt{3} \text{ cm}$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
