Serbest düşme soruları ve çözümleri Test 2

Hava sürtünmesinin önemsenmediği bir ortamda serbest bırakılan bir cisim, bırakıldığı noktadan itibaren son iki saniyede 100 m yol alıyor. Buna göre cismin toplam düşme süresi kaç saniyedir? (g = 10 m/s²)

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, serbest düşme hareketini ve zamanla alınan yol arasındaki ilişkiyi kullanarak toplam düşme süresini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu problemi birlikte çözelim.

• Adım 1: Serbest Düşme Hareketini Anlayalım

  Cisim serbest bırakıldığı için başlangıç hızı $v_0 = 0 \text{ m/s}$'dir. Hava sürtünmesi önemsenmediği için cisim sadece yer çekimi ivmesi ($g$) etkisiyle hızlanır. Bir cismin $t$ sürede serbest düşerek aldığı yol (yükseklik) formülü şöyledir:

  $h = \frac{1}{2}gt^2$

  Burada $g = 10 \text{ m/s}^2$ olarak verilmiştir.

• Adım 2: Toplam Düşme Süresini ve Son İki Saniyeyi Tanımlayalım

  Cismin toplam düşme süresine $T$ diyelim. Soruda bize, cismin toplam düşme süresinin son iki saniyesinde 100 m yol aldığı söyleniyor. Bu ne anlama geliyor?

  Bu, cismin $T$ saniyede aldığı toplam yol ($h_T$) ile $(T-2)$ saniyede aldığı yol ($h_{T-2}$) arasındaki farkın 100 m olduğu anlamına gelir. Yani:

  $h_T - h_{T-2} = 100 \text{ m}$

• Adım 3: Formülleri Kullanarak Denklemi Kuralım

  Şimdi, Adım 1'deki yol formülünü kullanarak $h_T$ ve $h_{T-2}$ ifadelerini yazalım:

  • Cismin $T$ saniyede aldığı yol: $h_T = \frac{1}{2}gT^2$
  • Cismin $(T-2)$ saniyede aldığı yol: $h_{T-2} = \frac{1}{2}g(T-2)^2$

  Bu ifadeleri Adım 2'deki denkleme yerleştirelim:

  $\frac{1}{2}gT^2 - \frac{1}{2}g(T-2)^2 = 100$

• Adım 4: Denklemi Çözelim

  $g = 10 \text{ m/s}^2$ değerini denklemde yerine koyalım:

  $\frac{1}{2}(10)T^2 - \frac{1}{2}(10)(T-2)^2 = 100$

  $5T^2 - 5(T-2)^2 = 100$

  Denklemin her iki tarafını 5'e bölelim, böylece işlemimiz daha kolay hale gelir:

  $T^2 - (T-2)^2 = 20$

  Şimdi $(T-2)^2$ ifadesini açalım. Hatırlayalım: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

  $(T-2)^2 = T^2 - 2(T)(2) + 2^2 = T^2 - 4T + 4$

  Bu ifadeyi denklemimize geri yazalım:

  $T^2 - (T^2 - 4T + 4) = 20$

  Parantezi açarken işaretlere dikkat edelim:

  $T^2 - T^2 + 4T - 4 = 20$

  $T^2$ terimleri birbirini götürür:

  $4T - 4 = 20$

  Şimdi $-4$'ü denklemin sağ tarafına atalım (işareti değişir):

  $4T = 20 + 4$

  $4T = 24$

  Son olarak, $T$'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim:

  $T = \frac{24}{4}$

  $T = 6 \text{ saniye}$

• Adım 5: Sonucumuzu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı Ama Önemli!)

  Eğer toplam düşme süresi $T=6$ saniye ise:

  • Cismin 6 saniyede aldığı toplam yol: $h_6 = \frac{1}{2}(10)(6)^2 = 5 \times 36 = 180 \text{ m}$.
  • Cismin ilk $(6-2)=4$ saniyede aldığı yol: $h_4 = \frac{1}{2}(10)(4)^2 = 5 \times 16 = 80 \text{ m}$.
  • Son iki saniyede aldığı yol: $h_6 - h_4 = 180 \text{ m} - 80 \text{ m} = 100 \text{ m}$.

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz sonuç soruda verilen bilgiyle tamamen uyuşuyor. Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.

Cevap C seçeneğidir.