Serbest düşme soruları ve çözümleri Test 2

Bir cisim belirli bir yükseklikten serbest bırakıldığında, son 1 saniyede 35 m yol alıyor. Buna göre cismin bırakıldığı yükseklik kaç metredir? (g = 10 m/s²)

A) 45
B) 60
C) 80
D) 125

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, serbest düşen bir cismin hareketini inceleyeceğiz. Cisim belirli bir yükseklikten bırakıldığında, son 1 saniyede aldığı yolu biliyoruz ve toplam bırakıldığı yüksekliği bulmamız isteniyor. Serbest düşme hareketinde cismin ilk hızı sıfırdır ve yerçekimi ivmesi ($g$) ile hızlanır. Bu tür problemleri çözmek için hareket denklemlerini kullanacağız.

• Adım 1: Problemi Anlama ve Verileri Belirleme

  Cisim serbest bırakıldığı için ilk hızı $v_0 = 0$ m/s'dir. Yerçekimi ivmesi $g = 10$ m/s² olarak verilmiştir. Cisim son 1 saniyede $35$ m yol almıştır. Bizden cismin bırakıldığı toplam yükseklik ($H$) isteniyor.

• Adım 2: Toplam Düşme Süresi ve Yüksekliği Tanımlama

  Cismin toplam düşme süresine $t$ diyelim. Bu durumda, cismin toplam $t$ süresinde aldığı yol (yükseklik) $H$ olsun. Serbest düşme hareketinde alınan yol denklemi $H = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$ şeklindedir. İlk hız $v_0 = 0$ olduğu için denklem $H = \frac{1}{2}gt^2$ olur.

• Adım 3: Son 1 Saniyedeki Hareketi İfade Etme

  Cisim toplam $t$ saniye düşüyorsa, son 1 saniyede aldığı yol, toplam $t$ saniyede aldığı yoldan, $(t-1)$ saniyede aldığı yolun çıkarılmasıyla bulunur. Yani:

  • Toplam $t$ sürede alınan yol: $H_t = \frac{1}{2}gt^2$
  • $(t-1)$ sürede alınan yol: $H_{t-1} = \frac{1}{2}g(t-1)^2$

  Soruda verilen bilgiye göre, son 1 saniyede alınan yol $35$ m'dir. Bu durumda:

  $H_t - H_{t-1} = 35$ m

  $\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 35$

• Adım 4: Toplam Düşme Süresini ($t$) Hesaplama

  Denklemde $g = 10$ m/s² değerini yerine yazalım ve $t$ süresini bulalım:

  $\frac{1}{2}(10)t^2 - \frac{1}{2}(10)(t-1)^2 = 35$

  $5t^2 - 5(t-1)^2 = 35$

  Her tarafı $5$'e bölelim:

  $t^2 - (t-1)^2 = 7$

  $(t-1)^2$ ifadesini açalım: $(t-1)^2 = t^2 - 2t + 1$

  Denklemde yerine yazalım:

  $t^2 - (t^2 - 2t + 1) = 7$

  $t^2 - t^2 + 2t - 1 = 7$

  $2t - 1 = 7$

  $2t = 8$

  $t = 4$ saniye

  Buna göre, cisim toplam $4$ saniye boyunca düşmüştür.

• Adım 5: Cismin Bırakıldığı Toplam Yüksekliği ($H$) Hesaplama

  Toplam düşme süresini $t = 4$ saniye olarak bulduk. Şimdi bu değeri toplam yükseklik denkleminde yerine koyarak $H$ değerini bulabiliriz:

  $H = \frac{1}{2}gt^2$

  $H = \frac{1}{2}(10)(4)^2$

  $H = 5 \times 16$

  $H = 80$ metre

Cismin bırakıldığı yükseklik $80$ metredir.

Cevap C seçeneğidir.