Grad nedir Test 2

z = x²y + xy³ fonksiyonu veriliyor. (1,-1) noktasındaki gradyan vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-1, -2)
B) (1, -2)
C) (-3, 2)
D) (3, -2)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, çok değişkenli bir fonksiyonun belirli bir noktadaki gradyan vektörünü bulmamız isteniyor. Gradyan vektörü, bir fonksiyonun en hızlı artış yönünü ve bu artışın büyüklüğünü gösteren önemli bir kavramdır. Adım adım bu soruyu çözelim.

• 1. Gradyan Vektörünün Tanımı:

  Bir $z = f(x, y)$ fonksiyonunun gradyan vektörü, fonksiyonun $x$ ve $y$'ye göre kısmi türevlerini içeren bir vektördür. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

  $\nabla z = \left\langle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right\rangle$

  Burada $\frac{\partial z}{\partial x}$, $y$ sabit tutularak $z$'nin $x$'e göre türevi; $\frac{\partial z}{\partial y}$ ise $x$ sabit tutularak $z$'nin $y$'ye göre türevidir.

• 2. $x$'e Göre Kısmi Türev Hesabı ($\frac{\partial z}{\partial x}$):

  Verilen fonksiyon $z = x^2y + xy^3$. Bu fonksiyonun $x$'e göre kısmi türevini alırken $y$'yi sabit bir sayı gibi kabul ederiz:

  $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial x}(xy^3)$

  İlk terim için ($x^2y$): $y$ sabit olduğundan, $x^2$'nin türevi $2x$ ile $y$'nin çarpımıdır: $2xy$.

  İkinci terim için ($xy^3$): $y^3$ sabit olduğundan, $x$'in türevi $1$ ile $y^3$'ün çarpımıdır: $y^3$.

  Böylece $x$'e göre kısmi türev:

  $\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^3$

• 3. $y$'ye Göre Kısmi Türev Hesabı ($\frac{\partial z}{\partial y}$):

  Şimdi aynı fonksiyonun $y$'ye göre kısmi türevini alırken $x$'i sabit bir sayı gibi kabul ederiz:

  $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^3)$

  İlk terim için ($x^2y$): $x^2$ sabit olduğundan, $y$'nin türevi $1$ ile $x^2$'nin çarpımıdır: $x^2$.

  İkinci terim için ($xy^3$): $x$ sabit olduğundan, $y^3$'ün türevi $3y^2$ ile $x$'in çarpımıdır: $3xy^2$.

  Böylece $y$'ye göre kısmi türev:

  $\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3xy^2$

• 4. Gradyan Vektörünün Oluşturulması:

  Bulduğumuz kısmi türevleri kullanarak gradyan vektörünü yazarız:

  $\nabla z = \left\langle 2xy + y^3, x^2 + 3xy^2 \right\rangle$

• 5. Belirtilen Noktada Gradyan Vektörünün Hesaplanması:

  Şimdi gradyan vektörünü $(1, -1)$ noktasında değerlendirmek için $x=1$ ve $y=-1$ değerlerini yerine koyarız.

  • Birinci Bileşen (x-bileşeni):

    $2xy + y^3 = 2(1)(-1) + (-1)^3$

    $= -2 + (-1)$

    $= -2 - 1$

    $= -3$

  • İkinci Bileşen (y-bileşeni):

    $x^2 + 3xy^2 = (1)^2 + 3(1)(-1)^2$

    $= 1 + 3(1)(1)$

    $= 1 + 3$

    $= 4$

• 6. Sonuç:

  Buna göre, $(1, -1)$ noktasındaki gradyan vektörü $\nabla z(1, -1) = \left\langle -3, 4 \right\rangle$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.