Radyan cinsinden verilen bir açının esas ölçüsü [0, 2π) aralığındadır. \(\frac{17\pi}{3}\) radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) \(\frac{\pi}{3}\)Bir açının esas ölçüsü, o açının birim çember üzerindeki bitim noktasının konumunu belirleyen ve $0$ ile $2\pi$ (dahil değil) arasında olan açıdır. Yani, $0 \le \text{esas ölçü} < 2\pi$ olmalıdır. Bir açıya $2\pi$'nin tam katlarını eklemek veya çıkarmak, açının esas ölçüsünü değiştirmez çünkü bu, birim çember üzerinde tam turlar atmak anlamına gelir.
Bize verilen açı $\frac{17\pi}{3}$ radyandır. Bu açı $2\pi$'den büyüktür, çünkü $2\pi = \frac{6\pi}{3}$'tür ve $\frac{17\pi}{3} > \frac{6\pi}{3}$'tür. Bu durumda, açının içindeki tam $2\pi$ katlarını çıkarmamız gerekir.
Bir tam tur $2\pi$ radyandır. Paydası $3$ olduğu için, $2\pi$'yi paydası $3$ olacak şekilde yazarsak $2\pi = \frac{6\pi}{3}$ olur. Şimdi, $\frac{17\pi}{3}$ açısının içinde kaç tane $\frac{6\pi}{3}$ olduğunu bulmalıyız. Bunun için kesrin payını (17) paydanın iki katına (yani $2 \times 3 = 6$'ya) böleriz:
$17 \div 6$ işlemini yapalım:
$17 = 2 \times 6 + 5$
Bu işlem bize $17$'nin içinde $2$ tane $6$ olduğunu ve $5$ kalanının olduğunu gösterir. Bu durumda, $\frac{17\pi}{3}$ açısını şu şekilde yazabiliriz:
$\frac{17\pi}{3} = \frac{12\pi + 5\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{5\pi}{3}$
Burada $\frac{12\pi}{3} = 4\pi$'dir. Yani $2$ tam tur ($2 \times 2\pi = 4\pi$) atmışız. Bu tam turlar esas ölçüyü etkilemez.
Geriye kalan kısım $\frac{5\pi}{3}$'tür.
Bulduğumuz $\frac{5\pi}{3}$ açısı $[0, 2\pi)$ aralığında mıdır? Evet, $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ (çünkü $2\pi = \frac{6\pi}{3}$) koşulunu sağlar. Bu nedenle, $\frac{5\pi}{3}$ radyanlık açı, $\frac{17\pi}{3}$ radyanlık açının esas ölçüsüdür.
Cevap D seçeneğidir.
