Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle ise ($ \Rightarrow $) bağlacının doğruluk tablosunu ve ne zaman yanlış olduğunu çok iyi bilmemiz gerekiyor. Mantıkta "ise" bağlacı, bir koşulun gerçekleşmesi durumunda başka bir sonucun ortaya çıkacağını ifade eder. Şimdi adım adım inceleyelim:
- Bir $p \Rightarrow q$ önermesinin doğruluk değeri, sadece ve sadece $p$ önermesi doğru iken $q$ önermesi yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda $p \Rightarrow q$ önermesinin doğruluk değeri doğrudur. Bu kuralı aklımızın bir köşesine yazalım!
- Bu bilgiyi daha net anlamak için doğruluk durumlarını tek tek inceleyelim:
- Eğer $p$ doğru ve $q$ doğru ise, $p \Rightarrow q$ önermesi doğrudur. (Örnek: "Güneş doğarsa hava aydınlanır." - Güneş doğdu, hava aydınlandı. Doğru.)
- Eğer $p$ doğru ve $q$ yanlış ise, $p \Rightarrow q$ önermesi yanlıştır. (Örnek: "Güneş doğarsa hava aydınlanır." - Güneş doğdu, ama hava aydınlanmadı. Bu imkansız ve yanlış bir durumdur.)
- Eğer $p$ yanlış ve $q$ doğru ise, $p \Rightarrow q$ önermesi doğrudur. (Örnek: "Güneş doğarsa hava aydınlanır." - Güneş doğmadı, ama hava aydınlandı (belki başka bir ışık kaynağı var). Bu durum önermeyi yanlış yapmaz, çünkü koşul (Güneş'in doğması) gerçekleşmemiştir.)
- Eğer $p$ yanlış ve $q$ yanlış ise, $p \Rightarrow q$ önermesi doğrudur. (Örnek: "Güneş doğarsa hava aydınlanır." - Güneş doğmadı, hava da aydınlanmadı. Bu da önermeyi yanlış yapmaz.)
- Soruda bize $p \Rightarrow q$ önermesinin yanlış olduğu bilgisi verilmiş.
- Yukarıdaki doğruluk durumlarına baktığımızda, $p \Rightarrow q$ önermesinin yanlış olduğu tek bir durum vardır: $p$ önermesinin doğru (1) ve $q$ önermesinin yanlış (0) olması durumu.
- Yani, $p \equiv 1$ (doğru) ve $q \equiv 0$ (yanlış) olmalıdır.
- Şimdi seçenekleri bu bilgi ışığında inceleyelim:
- A) $p$ doğru, $q$ doğru: Bu durumda $p \Rightarrow q$ doğru olur. Bu, sorudaki bilgiyle çelişir.
- B) $p$ doğru, $q$ yanlış: Bu durumda $p \Rightarrow q$ yanlış olur. İşte aradığımız durum tam olarak budur! $p$ doğru ve $q$ yanlış olduğunda, $p \Rightarrow q$ önermesi yanlış olur.
- C) $p$ yanlış, $q$ doğru: Bu durumda $p \Rightarrow q$ doğru olur. Bu da sorudaki bilgiyle çelişir.
- D) $p$ yanlış, $q$ yanlış: Bu durumda $p \Rightarrow q$ doğru olur. Bu da sorudaki bilgiyle çelişir.
Bu durumda, $p \Rightarrow q$ önermesinin yanlış olması için kesinlikle $p$ önermesinin doğru, $q$ önermesinin ise yanlış olması gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
