Belirli integral nedir Test 2

Bir üretim hattında, \( t \) saat sonunda biriken ürün miktarının değişim hızı \( f(t) = 3t^2 + 2t \) fonksiyonu ile modelleniyor. Buna göre, ilk 3 saatte üretilen toplam ürün miktarı kaçtır?

A) 27
B) 36
C) 45
D) 54

Üretim hattındaki toplam ürün miktarını bulmak için harika bir yolculuğa çıkıyoruz! 🚀

• 🧪 Öncelikle, bize verilen değişim hızını temsil eden fonksiyonu yazalım: $f(t) = 3t^2 + 2t$. Bu, her an üretilen ürün miktarının ne kadar hızlı değiştiğini gösteriyor.
• 📐 Şimdi, ilk 3 saatte üretilen toplam ürün miktarını bulmak için bu fonksiyonun integralini almamız gerekiyor. İntegral, bir fonksiyonun altında kalan alanı bulmamıza yardımcı olur ve bu durumda, zamanla biriken toplam ürün miktarını temsil eder. İntegrali şu şekilde ifade edebiliriz: $\int_{0}^{3} (3t^2 + 2t) dt$.
• 🧮 İntegrali alalım: $\int (3t^2 + 2t) dt = t^3 + t^2 + C$. Burada $C$ bir sabittir, ancak belirli integralde sınırlar olduğu için bu sabiti ihmal edebiliriz.
• 💡 Şimdi, integralin değerini 0 ve 3 sınırları arasında hesaplayalım: $(3^3 + 3^2) - (0^3 + 0^2) = (27 + 9) - (0) = 36$. Bu, ilk 3 saatte üretilen toplam ürün miktarının 36 birim olduğunu gösteriyor.
• ✅ Doğru Seçenek B'dir.