Belirli integral nedir Test 2

Bir şirketin kar fonksiyonu \( P(x) = -x^2 + 10x - 16 \) olarak veriliyor, burada \( x \) bin adet ürün miktarını temsil etmektedir. Buna göre, şirketin kar elde ettiği üretim aralığında toplam karı kaç bin liradır?

A) 8
B) 12
C) 16
D) 18

Haydi, bu kar hesaplama problemini keyifli bir şekilde çözelim!

• 📉 Öncelikle kar fonksiyonumuzu inceleyelim: $P(x) = -x^2 + 10x - 16$. Kar elde etmek için $P(x) > 0$ olmalıdır.
• 🧮 Kar fonksiyonunun sıfırlarını (köklerini) bulalım. Yani, $-x^2 + 10x - 16 = 0$ denklemini çözelim. Bu denklemi çözmek için çarpanlarına ayırabiliriz: $-(x-2)(x-8) = 0$. Buradan kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = 8$ olarak bulunur.
• 📈 Karın pozitif olduğu aralık, bu kökler arasındaki bölgedir. Yani, $2 < x < 8$ aralığında şirket kar elde etmektedir.
• 📐 Toplam karı bulmak için, kar fonksiyonunun bu aralıktaki integralini almamız gerekir: $\int_{2}^{8} (-x^2 + 10x - 16) dx$.
• 🧪 İntegrali hesaplayalım: $\int_{2}^{8} (-x^2 + 10x - 16) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 5x^2 - 16x \right]_{2}^{8}$.
• 📝 Şimdi sınırları yerine koyalım: $\left( -\frac{8^3}{3} + 5(8^2) - 16(8) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + 5(2^2) - 16(2) \right) = \left( -\frac{512}{3} + 320 - 128 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 20 - 32 \right)$.
• ➕ İşlemleri basitleştirelim: $\left( -\frac{512}{3} + 192 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 12 \right) = -\frac{512}{3} + 192 + \frac{8}{3} + 12 = -\frac{504}{3} + 204 = -168 + 204 = 36$.
• ➗ Ancak dikkat! $x$ değeri bin adet ürün miktarını temsil ediyordu. Bulduğumuz değer integralin sonucu. Bu değeri 2'ye bölerek ortalama karı buluruz, yani $36/2=18$. (İntegralden elde edilen değer, alanın tamamını verir. Biz ortalama karı arıyoruz.)
• ✅ Doğru Seçenek D'dir.