Belirli integral nedir Test 2

Bir dağ yolunun yükseklik profili \( h(x) = -0.01x^2 + 2x \) fonksiyonu ile modelleniyor, burada \( x \) metre cinsinden yatay mesafedir. \( [0, 100] \) metre aralığında toplam tırmanılan dikey mesafe kaç metredir?

A) 50
B) 75
C) 100
D) 150

Haydi, bu dağ yolunun gizemini çözelim ve toplam tırmanışı bulalım!

• 📐 Öncelikle, fonksiyonumuzu inceleyelim: $h(x) = -0.01x^2 + 2x$. Bu fonksiyon, dağ yolunun yüksekliğini yatay mesafeye göre tanımlıyor.
• ⛰️ Toplam tırmanışı bulmak için, fonksiyonun artan olduğu bölgeleri bulmalıyız. Bunun için türevini alıp, türevin pozitif olduğu yerleri inceleyelim: $h'(x) = -0.02x + 2$.
• 🧮 Türevin sıfır olduğu noktayı bulalım: $-0.02x + 2 = 0 \Rightarrow x = 100$. Bu, fonksiyonun maksimum yüksekliğe ulaştığı noktadır.
• 📈 $x = 0$ ile $x = 100$ aralığında fonksiyon sürekli artıyor. Yani, dağın başlangıcından tepe noktasına kadar sürekli bir tırmanış var.
• ➕ Toplam tırmanılan dikey mesafeyi bulmak için, $h(100)$ değerini hesaplamamız yeterli olacaktır, çünkü $h(0) = 0$. $h(100) = -0.01(100)^2 + 2(100) = -0.01(10000) + 200 = -100 + 200 = 100$.
• ✅ Doğru Seçenek C'dir.