"Sonsuz sayıda asal sayı olduğu" çelişki yöntemiyle ispatlanırken Euclid'in kullandığı yaklaşım hangisidir?
A) Sonlu sayıda asal olduğunu varsayıp yeni bir asal sayı oluşturmak
B) Sonsuz sayıda asal olduğunu doğrudan listelemek
C) Asal sayıların çarpımının asal olduğunu göstermek
D) Asal olmayan sayıların sonsuz olduğunu göstermek
Euclid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ispatlamak için kullandığı yaklaşım, matematikte sıkça başvurulan "çelişki yöntemiyle ispat" (proof by contradiction) prensibine dayanır. Bu yöntem, ispatlamak istediğimiz ifadenin tersini doğru kabul edip, bu kabulün mantıksal olarak bir çelişkiye yol açtığını göstererek, başlangıçtaki ifadenin doğru olduğunu kanıtlamaktır.
-
Çelişki Yönteminin Başlangıcı: Euclid, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ispatlamak için öncelikle bunun tersini, yani "sonlu sayıda asal sayı olduğu" varsayımını yapar. Bu, ispatın ilk adımıdır.
-
Varsayılan Asal Sayıların Listelenmesi: Eğer sonlu sayıda asal sayı varsa, o zaman tüm asal sayıları listeleyebiliriz. Diyelim ki bu asal sayılar $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ olsun. Bu liste, dünyadaki tüm asal sayıları içerdiği varsayılan en büyük ve tek liste olacaktır.
-
Yeni Bir Sayı Oluşturma: Euclid, bu varsayılan sonlu listedeki tüm asal sayıları çarparak ve bu çarpıma 1 ekleyerek yeni bir sayı $N$ oluşturur. Yani, $N = (p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n) + 1$.
-
Oluşturulan Sayının Analizi ve Çelişki: Şimdi bu $N$ sayısının durumunu inceleyelim:
-
Durum 1: $N$ bir asal sayıdır. Eğer $N$ asal ise, bu sayı bizim başlangıçta varsaydığımız $p_1, p_2, ..., p_n$ listesinde yer alamaz. Çünkü $N$, listedeki her bir asal sayıdan daha büyüktür. Bu durumda, başlangıçtaki "tüm asal sayıları içeren sonlu bir liste var" varsayımımız çelişir, çünkü yeni bir asal sayı bulmuş oluruz.
-
Durum 2: $N$ bir bileşik sayıdır (asal değildir). Eğer $N$ bileşik bir sayı ise, asal sayıların temel teoremine göre, $N$'nin mutlaka bir asal çarpanı olmalıdır. Diyelim ki bu asal çarpan $p$ olsun. Bu $p$ asal çarpanı, bizim başlangıçta varsaydığımız $p_1, p_2, ..., p_n$ listesindeki asal sayılardan biri olmak zorundadır (çünkü bu liste tüm asal sayıları içeriyordu). Ancak, $N$ sayısını $p_1, p_2, ..., p_n$ listesindeki herhangi bir asal sayıya böldüğümüzde her zaman 1 kalanını verir. Örneğin, $N / p_1 = (p_2 \times p_3 \times ... \times p_n) + 1/p_1$. Bu da demektir ki $N$, listedeki hiçbir asal sayıya tam bölünemez. Dolayısıyla, $N$'nin asal çarpanı olan $p$, listedeki $p_1, p_2, ..., p_n$ sayılarından biri olamaz. Bu durumda da, başlangıçtaki "tüm asal sayıları içeren sonlu bir liste var" varsayımımız çelişir, çünkü listede olmayan yeni bir asal çarpan bulmuş oluruz.
-
Sonuç: Her iki durumda da ( $N$ asal olsun ya da bileşik olsun), başlangıçtaki "sonlu sayıda asal sayı olduğu" varsayımı bir çelişkiye yol açar. Bu çelişki, başlangıçtaki varsayımın yanlış olduğunu gösterir. Dolayısıyla, doğru olan ifade "sonsuz sayıda asal sayı olduğu"dur.
Bu açıklamalardan da anlaşılacağı üzere, Euclid'in kullandığı yaklaşım, sonlu sayıda asal olduğunu varsayıp bu varsayımdan yola çıkarak yeni bir asal sayı (veya yeni bir asal çarpanı olan bir sayı) oluşturmak ve böylece bir çelişki elde etmektir.
Cevap A seçeneğidir.
