Olmayana ergi (Çelişki) yöntemi ile ispat Test 2

Çelişki yöntemiyle "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya sadece bir paralel doğru çizilebileceği" ispatlanırken hangi varsayım kullanılır?

A) Birden fazla paralel doğru çizilebileceği varsayılır
B) Hiç paralel doğru çizilemeyeceği varsayılır
C) Sonsuz sayıda paralel doğru çizilebileceği varsayılır
D) Paralel doğruların kesişeceği varsayılır

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruyu çözmek için öncelikle "çelişki yöntemiyle ispat" kavramını ve ispatlamak istediğimiz önermeyi iyi anlamamız gerekiyor.

• 1. Çelişki Yöntemiyle İspat Nedir?
  • Bir önermenin (P) doğru olduğunu ispatlamak için, o önermenin tersinin (değili, yani "değil P") doğru olduğunu varsayarız.
  • Bu varsayımdan yola çıkarak mantıksal adımlarla ilerleriz.
  • Eğer bu varsayım bizi bilinen bir gerçekle, bir aksiyomla veya daha önce ispatlanmış bir teoremle çelişen bir sonuca götürürse, o zaman başlangıçtaki varsayımımızın ("değil P" doğru) yanlış olduğu sonucuna varırız.
  • Dolayısıyla, başlangıçtaki önermenin (P) doğru olması gerektiği sonucuna ulaşırız.
• 2. İspatlamak İstediğimiz Önerme (P):
  • "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya sadece bir paralel doğru çizilebilir."
  • Bu önerme, Öklid geometrisinin temel aksiyomlarından biri olan paralel postülatın (veya Playfair aksiyomunun) bir ifadesidir.
• 3. Çelişki Yöntemi İçin Yapılacak Varsayım (P'nin Değili):
  • Eğer P önermesi "sadece bir" paralel doğru çizilebileceğini söylüyorsa, P'nin değili "sadece bir paralel doğru çizilemez" demektir.
  • "Sadece bir paralel doğru çizilemez" ifadesi iki durumu kapsar:
    1. Hiç paralel doğru çizilemez.
    2. Birden fazla paralel doğru çizilebilir (yani iki, üç, sonsuz sayıda vb.).
• 4. Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
  • A) Birden fazla paralel doğru çizilebileceği varsayılır: Bu, "sadece bir" ifadesinin doğrudan zıddıdır ve çelişki yönteminde en sık kullanılan varsayımdır. Eğer birden fazla paralel doğru çizilebileceğini varsayarsak ve bu varsayım bizi bir çelişkiye götürürse, o zaman "sadece bir" paralel doğru çizilebileceği ispatlanmış olur.
  • B) Hiç paralel doğru çizilemeyeceği varsayılır: Bu da "sadece bir" ifadesinin zıddı olabilir. Ancak, Öklid geometrisinde bir doğrunun dışındaki bir noktadan o doğruya en az bir paralel doğru çizilebileceği kolayca gösterilebilir (örneğin, noktadan doğruya dikme inip, noktadan bu dikmeye tekrar dikme çizerek). Dolayısıyla, "hiç paralel doğru çizilemez" varsayımı hızla bir çelişkiye yol açar ve genellikle "tekliği" ispatlamak için ana varsayım olarak kullanılmaz.
  • C) Sonsuz sayıda paralel doğru çizilebileceği varsayılır: Bu, "birden fazla" durumunun özel bir halidir. Eğer "birden fazla" varsayımı çelişkiye yol açıyorsa, "sonsuz sayıda" varsayımı da çelişkiye yol açacaktır. Ancak, daha genel ve temel varsayım "birden fazla" olmasıdır.
  • D) Paralel doğruların kesişeceği varsayılır: Paralel doğrular tanım gereği kesişmeyen doğrulardır. Bu varsayım, paralel doğruların tanımıyla doğrudan çelişir ve sorunun bağlamında "sadece bir paralel doğru çizilebileceği" ispatı için uygun bir başlangıç varsayımı değildir. Bu daha çok "eğer iki doğru paralelse kesişmezler" gibi bir önermeyi ispatlamak için kullanılabilir.
• 5. Sonuç:
  • "Sadece bir paralel doğru çizilebilir" önermesinin çelişki yöntemiyle ispatında, bu önermenin tersi olan "birden fazla paralel doğru çizilebilir" varsayımı yapılır. Bu varsayımın diğer aksiyomlarla çelişmesi gösterilerek, başlangıçtaki önermenin doğru olduğu sonucuna varılır.

Cevap A seçeneğidir.