Bir matematik öğretmeni tahtaya \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \) ifadesini yazmıştır. Bu ifade aşağıdaki kümelerden hangisine eşittir?
A) \( \mathbb{R} \)
B) \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
C) \( (0, \infty) \)
D) \( (-\infty, 0) \)
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen küme ifadesinin hangi seçenekteki kümeye eşit olduğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Verilen İfadeyi Anlayalım
- Bize verilen ifade $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ şeklindedir. Bu ifade iki ayrı kümenin birleşimi anlamına gelir.
- İlk küme $ (-\infty, 0) $; eksi sonsuzdan sıfıra kadar olan tüm reel sayıları ifade eder. Bu küme, 0'ı içermez ve tüm negatif reel sayılardan oluşur.
- İkinci küme $ (0, \infty) $; sıfırdan artı sonsuza kadar olan tüm reel sayıları ifade eder. Bu küme de 0'ı içermez ve tüm pozitif reel sayılardan oluşur.
- Adım 2: Kümelerin Birleşimini İnceleyelim
- $ \cup $ sembolü, kümeler arasındaki "birleşim" işlemini gösterir. Birleşim, her iki kümede bulunan tüm elemanları içeren yeni bir küme oluşturur.
- Yani, $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ ifadesi, hem negatif reel sayıları hem de pozitif reel sayıları içeren bir küme demektir.
- Bu birleşim kümesinde hangi sayı yoktur? Dikkat ederseniz, ilk küme 0'ı içermez, ikinci küme de 0'ı içermez. Dolayısıyla, bu iki kümenin birleşimi de 0 sayısını içermeyecektir.
- Adım 3: Sonuç Kümeyi Belirleyelim
- Bu durumda, $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ kümesi, 0 hariç tüm reel sayıları ifade eder. Yani, sayı doğrusu üzerinde 0 noktasının sağındaki ve solundaki tüm noktaları kapsar, ancak 0 noktasını kapsamaz.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim
- Şimdi seçeneklerimizi inceleyelim ve hangisinin bulduğumuz bu kümeye eşit olduğunu bulalım:
- A) $ \mathbb{R} $ : Bu sembol, tüm reel sayılar kümesini ifade eder. Reel sayılar kümesi 0'ı da içerir. Bizim bulduğumuz küme 0'ı içermediği için A seçeneği doğru değildir.
- B) $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ : Bu sembol, tüm reel sayılar kümesinden $ \{0\} $ kümesinin çıkarılması anlamına gelir. Yani, 0 hariç tüm reel sayılar demektir. Bu ifade, bizim bulduğumuz "0 hariç tüm reel sayılar" kümesiyle tamamen aynıdır.
- C) $ (0, \infty) $ : Bu küme sadece pozitif reel sayıları ifade eder. Negatif reel sayıları içermediği için doğru değildir.
- D) $ (-\infty, 0) $ : Bu küme sadece negatif reel sayıları ifade eder. Pozitif reel sayıları içermediği için doğru değildir.
Yukarıdaki değerlendirmeler sonucunda, $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ ifadesinin $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ kümesine eşit olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
